### Câu 1: Cho hàm số \( f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x \)

**a, Giải phương trình \( f'(x) = 0 \)**

Trước tiên, ta tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \):

\[
f'(x) = 3x^2 + 4x - 5
\]

Ta cần giải phương trình:

\[
3x^2 + 4x - 5 = 0
\]

Phương trình này là phương trình bậc hai. Ta sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Với \( a = 3 \), \( b = 4 \), và \( c = -5 \), ta tính:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \times 3 \times (-5) = 16 + 60 = 76
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
x_1 = \frac{-4 + \sqrt{76}}{6}, \quad x_2 = \frac{-4 - \sqrt{76}}{6}
\]

Ta có thể đơn giản hóa \(\sqrt{76}\) thành \( 2\sqrt{19} \):

\[
x_1 = \frac{-4 + 2\sqrt{19}}{6} = \frac{-2 + \sqrt{19}}{3}, \quad x_2 = \frac{-4 - 2\sqrt{19}}{6} = \frac{-2 - \sqrt{19}}{3}
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
x = \frac{-2 + \sqrt{19}}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = \frac{-2 - \sqrt{19}}{3}
\]

**b, Xét dấu \( f'(x) \)**

Xét dấu của \( f'(x) = 3x^2 + 4x - 5 \). Ta biết rằng đây là một hàm bậc hai, có đồ thị là một parabol hướng lên (vì hệ số \( a = 3 > 0 \)).

Phương trình \( f'(x) = 0 \) có hai nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \) như đã tính ở trên. Do đó, ta có:

- \( f'(x) > 0 \) khi \( x < x_1 \) hoặc \( x > x_2 \).
- \( f'(x) < 0 \) khi \( x_1 < x < x_2 \).

Vậy dấu của \( f'(x) \) như sau:

\[
f'(x) > 0 \quad \text{khi} \quad x < \frac{-2 - \sqrt{19}}{3} \quad \text{hoặc} \quad x > \frac{-2 + \sqrt{19}}{3}
\]
\[
f'(x) < 0 \quad \text{khi} \quad \frac{-2 - \sqrt{19}}{3} < x < \frac{-2 + \sqrt{19}}{3}
\]

### Câu 2: Cho hàm số \( f(x) = -\frac{1}{3}x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 6x + \frac{1}{8} \)

**a, Giải phương trình \( f'(x) = 0 \)**

Trước tiên, ta tính đạo hàm của hàm số \( f(x) \):

\[
f'(x) = -x^2 + 5x - 6
\]

Ta cần giải phương trình:

\[
-x^2 + 5x - 6 = 0
\]

Nhân cả hai vế với \(-1\):

\[
x^2 - 5x + 6 = 0
\]

Đây là phương trình bậc hai, có thể giải bằng cách phân tích thành nhân tử:

\[
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0
\]

Vậy nghiệm của phương trình là:

\[
x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = 3
\]

**b, Giải bất phương trình \( f'(x) > 0 \), \( f'(x) < 0 \)**

Xét dấu của \( f'(x) = -x^2 + 5x - 6 \). Vì đây là một hàm bậc hai với hệ số \( a = -1 < 0 \), đồ thị là một parabol hướng xuống.

Phương trình \( f'(x) = 0 \) có hai nghiệm là \( x = 2 \) và \( x = 3 \).

- \( f'(x) > 0 \) khi \( 2 < x < 3 \) (khoảng giữa hai nghiệm).
- \( f'(x) < 0 \) khi \( x < 2 \) hoặc \( x > 3 \).

Vậy:

\[
f'(x) > 0 \quad \text{khi} \quad 2 < x < 3
\]
\[
f'(x) < 0 \quad \text{khi} \quad x < 2 \quad \text{hoặc} \quad x > 3
\]