Chúng ta sẽ giải quyết từng phần của bài toán.

### Phần A: Chứng minh \(ABCD\) là hình chữ nhật

1. **Tam giác ABC vuông tại A**: \( \angle BAC = 90^\circ \).

2. **M là trung điểm của BC**:
\[
\text{BM} = \text{MC}
\]

3. **D là điểm trên tia đối của MA sao cho MD = MA**:
\[
MD = MA
\]

4. **Chứng minh \(ABCD\) là hình chữ nhật**:

- **Chứng minh các cạnh đối diện song song**:
- Từ \(MD = MA\) và \(M\) là trung điểm của \(BC\), ta có:
\[
MD = MA \quad \text{và} \quad M \text{ là trung điểm của } BC
\]
- Do đó, \(AB\) song song với \(CD\) và \(AC\) song song với \(BD\).

- **Chứng minh các góc vuông**:
- Tam giác \(ABM\) vuông tại \(A\) và \(B\), nên \( \angle ABM = 90^\circ \).
- Tương tự, tam giác \(ACM\) vuông tại \(A\) và \(C\), nên \( \angle ACM = 90^\circ \).

- **Chứng minh các góc trong \(ABCD\) đều là góc vuông**:
- \(AB \parallel CD\) và \(AD \parallel BC\), và mỗi góc \(90^\circ\), cho nên \(ABCD\) là hình chữ nhật.

**Kết luận phần A**: \(ABCD\) là hình chữ nhật.

### Phần B: Chứng minh \(BEDC\) là hình bình hành

1. **Điểm \(E\) sao cho \(B\) là trung điểm của \(AE\)**:
\[
\text{BE} = \text{EA}
\]

2. **Chứng minh \(BEDC\) là hình bình hành**:

- **Chứng minh các cạnh đối diện bằng nhau**:
- Từ \(B\) là trung điểm của \(AE\), ta có \(BE = EA\).
- Từ phần A, ta đã chứng minh \(ABCD\) là hình chữ nhật, nên các cạnh đối diện \(AB\) và \(CD\) đều bằng nhau, \(AB = CD\) và \(BC = AD\).

- **Chứng minh các cạnh đối diện song song**:
- \(AB \parallel CD\) và \(AD \parallel BC\), do đó:
\[
BE \parallel CD \text{ và } BC \parallel AE
\]

- **Chứng minh các góc đối diện bằng nhau**:
- Trong hình chữ nhật \(ABCD\), tất cả các góc đều là \(90^\circ\), do đó góc \(B = D\) và góc \(E = C\).

**Kết luận phần B**: \(BEDC\) là hình bình hành vì các cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song với nhau.