Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( C = 6xy - 2x^2 - 9y^2 + 6x + 12y + 8 \), chúng ta thực hiện các bước sau:

1. **Sắp xếp lại hàm**:
\[
C = 6xy - 2x^2 - 9y^2 + 6x + 12y + 8
\]

2. **Tính các đạo hàm riêng**:
- Đạo hàm theo \( x \):
\[
\frac{\partial C}{\partial x} = 6y - 4x + 6
\]
- Đạo hàm theo \( y \):
\[
\frac{\partial C}{\partial y} = 6x - 18y + 12
\]

3. **Giải hệ phương trình để tìm điểm cực trị**:
Đặt các đạo hàm bằng 0:
\[
6y - 4x + 6 = 0
\]
\[
6x - 18y + 12 = 0
\]

Từ phương trình thứ nhất:
\[
6y = 4x - 6
\]
\[
y = \frac{2x - 3}{3}
\]

Thay vào phương trình thứ hai:
\[
6x - 18 \left(\frac{2x - 3}{3}\right) + 12 = 0
\]
\[
6x - 6(2x - 3) + 12 = 0
\]
\[
6x - 12x + 18 + 12 = 0
\]
\[
-6x + 30 = 0
\]
\[
x = 5
\]

Thay \( x = 5 \) vào \( y = \frac{2x - 3}{3} \):
\[
y = \frac{2(5) - 3}{3} = \frac{10 - 3}{3} = \frac{7}{3}
\]

4. **Tính giá trị của hàm tại điểm \( (x, y) = (5, \frac{7}{3}) \)**:
\[
C = 6(5)\left(\frac{7}{3}\right) - 2(5)^2 - 9\left(\frac{7}{3}\right)^2 + 6(5) + 12\left(\frac{7}{3}\right) + 8
\]
\[
= 10 \cdot 7 - 2 \cdot 25 - 9 \cdot \frac{49}{9} + 30 + 28 + 8
\]
\[
= 70 - 50 - 49 + 30 + 28 + 8
\]
\[
= 37
\]

Vậy giá trị lớn nhất của hàm \( C \) là \( \boxed{37} \).

To find the maximum value (GTLN) of the function ( f(x, y) = 6xy - 2x^2 - 9y^2 + 6x + 12y + 6xy + 8 ), we can follow these steps: https://www.bing.com/search?form=SKPBOT&q=Combine%20like%20terms: [ f(x, y) = 12xy - 2x^2 - 9y^2 + 6x + 12y + 8 ]https://www.bing.com/search?form=SKPBOT&q=Find%20the%20partial%20derivatives with respect to (x) and (y): [ \frac{\partial f}{\partial x} = 12y - 4x + 6 ] [ \frac{\partial f}{\partial y} = 12x - 18y + 12 ]https://www.bing.com/search?form=SKPBOT&q=Set%20the%20partial%20derivatives%20to%20zero to find the critical points: [ 12y - 4x + 6 = 0 \quad \text{(1)} ] [ 12x - 18y + 12 = 0 \quad \text{(2)} ]https://www.bing.com/search?form=SKPBOT&q=Solve%20the%20system%20of%20equations: From equation (1): [ 12y - 4x + 6 = 0 \implies 4x = 12y + 6 \implies x = 3y + \frac{3}{2} ] Substitute (x = 3y + \frac{3}{2}) into equation (2): [ 12(3y + \frac{3}{2}) - 18y + 12 = 0 ] [ 36y + 18 - 18y + 12 = 0 ] [ 18y + 30 = 0 \implies y = -\frac{30}{18} = -\frac{5}{3} ] Substitute (y = -\frac{5}{3}) back into (x = 3y + \frac{3}{2}): [ x = 3(-\frac{5}{3}) + \frac{3}{2} = -5 + \frac{3}{2} = -\frac{7}{2} ] https://www.bing.com/search?form=SKPBOT&q=Evaluate%20the%20function%20at%20the%20critical%20point ((x, y) = \left(-\frac{7}{2}, -\frac{5}{3}\right)): [ f\left(-\frac{7}{2}, -\frac{5}{3}\right) = 12\left(-\frac{7}{2}\right)\left(-\frac{5}{3}\right) - 2\left(-\frac{7}{2}\right)^2 - 9\left(-\frac{5}{3}\right)^2 + 6\left(-\frac{7}{2}\right) + 12\left(-\frac{5}{3}\right) + 8 ] Simplifying this will give the maximum value of the function. Would you like me to continue with the simplification, or is there anything else you'd like to know?

Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( f(x, y) = 6xy - 2x^2 - 9y^2 + 6x + 12y + 6xy + 8 ), ta có thể thực hiện các bước sau:

Gộp các hạng tử giống nhau: [ f(x, y) = 12xy - 2x^2 - 9y^2 + 6x + 12y + 8 ]
Tính đạo hàm riêng theo ( x ) và ( y ): [ \frac{\partial f}{\partial x} = 12y - 4x + 6 ] [ \frac{\partial f}{\partial y} = 12x - 18y + 12 ]
Giải hệ phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: [ \begin{cases} 12y - 4x + 6 = 0 \ 12x - 18y + 12 = 0 \end{cases} ]

 Giải hệ phương trình này: [ \begin{cases} 12y - 4x + 6 = 0 \ 12x - 18y + 12 = 0 \end{cases} ]

 Từ phương trình thứ nhất: [ 12y = 4x - 6 \implies y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} ]

 Thay ( y ) vào phương trình thứ hai: [ 12x - 18\left(\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\right) + 12 = 0 ] [ 12x - 9x + 9 + 12 = 0 ] [ 3x + 21 = 0 \implies x = -7 ]

 Thay ( x = -7 ) vào ( y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} ): [ y = \frac{1}{2}(-7) - \frac{1}{2} = -4 ]
Tính giá trị của biểu thức tại điểm cực trị: [ f(-7, -4) = 12(-7)(-4) - 2(-7)^2 - 9(-4)^2 + 6(-7) + 12(-4) + 8 ] [ = 336 - 98 - 144 - 42 - 48 + 8 ] [ = 336 - 98 - 144 - 42 - 48 + 8 = 12 ]
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức là ( 12 ).