Giả thiết:
- \( A, B, C, D \) là bốn đỉnh của một tứ diện.
- \( G \) là trọng tâm của tứ diện \( ABCD \).
- \( M \) là một điểm bất kỳ trong không gian.

**Trọng tâm của tứ diện:** Trọng tâm \( G \) của tứ diện \( ABCD \) được xác định bởi công thức:

\[
\mathbf{G} = \frac{1}{4}(\mathbf{A} + \mathbf{B} + \mathbf{C} + \mathbf{D})
\]

**Yêu cầu chứng minh:**

\[
\mathbf{MG} = \frac{1}{4}(\mathbf{MA} + \mathbf{MB} + \mathbf{MC} + \mathbf{MD})
\]

Cm

Sử dụng định nghĩa vector, ta có:

\[
\mathbf{MA} = \mathbf{A} - \mathbf{M}
\]

\[
\mathbf{MB} = \mathbf{B} - \mathbf{M}
\]

\[
\mathbf{MC} = \mathbf{C} - \mathbf{M}
\]

\[
\mathbf{MD} = \mathbf{D} - \mathbf{M}
\]

Tổng của các vector từ \( M \) đến các đỉnh là:

\[
\mathbf{MA} + \mathbf{MB} + \mathbf{MC} + \mathbf{MD} = (\mathbf{A} - \mathbf{M}) + (\mathbf{B} - \mathbf{M}) + (\mathbf{C} - \mathbf{M}) + (\mathbf{D} - \mathbf{M})
\]

\[
= (\mathbf{A} + \mathbf{B} + \mathbf{C} + \mathbf{D}) - 4\mathbf{M}
\]

Suy ra:

\[
\frac{1}{4}(\mathbf{MA} + \mathbf{MB} + \mathbf{MC} + \mathbf{MD}) = \frac{1}{4}((\mathbf{A} + \mathbf{B} + \mathbf{C} + \mathbf{D}) - 4\mathbf{M})
\]

\[
= \frac{1}{4}(\mathbf{A} + \mathbf{B} + \mathbf{C} + \mathbf{D}) - \mathbf{M}
\]

Vì \( \mathbf{G} = \frac{1}{4}(\mathbf{A} + \mathbf{B} + \mathbf{C} + \mathbf{D}) \), ta có:

\[
\frac{1}{4}(\mathbf{MA} + \mathbf{MB} + \mathbf{MC} + \mathbf{MD}) = \mathbf{G} - \mathbf{M}
\]

Do đó:

\[
\mathbf{MG} = \mathbf{G} - \mathbf{M} = \frac{1}{4}(\mathbf{MA} + \mathbf{MB} + \mathbf{MC} + \mathbf{MD})
\]

=> \( \mathbf{MG} = \frac{1}{4}(\mathbf{MA} + \mathbf{MB} + \mathbf{MC} + \mathbf{MD}) \).