Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = \sqrt{x} - 1 + \sqrt{3 - x} \), chúng ta cần xác định miền xác định của hàm số và sau đó tìm các giá trị cực trị của nó.

### Bước 1: Xác định miền xác định

Hàm số \( f(x) \) có hai phần với điều kiện:

1. \(\sqrt{x}\) yêu cầu \(x \geq 0\)
2. \(\sqrt{3 - x}\) yêu cầu \(3 - x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3\)

Do đó, miền xác định của hàm số là:

\[ 0 \leq x \leq 3 \]

### Bước 2: Tìm giá trị cực trị

Để tìm các giá trị cực trị, ta cần tính đạo hàm của hàm số và giải phương trình đạo hàm bằng 0.

Hàm số:
\[ f(x) = \sqrt{x} - 1 + \sqrt{3 - x} \]

Đạo hàm:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x}) - \frac{d}{dx}(1) + \frac{d}{dx}(\sqrt{3 - x})
\]
\[
f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{3 - x}}
\]

Đặt \( f'(x) = 0 \):
\[
\frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2\sqrt{3 - x}} = 0
\]
\[
\frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{3 - x}}
\]
\[
\sqrt{x} = \sqrt{3 - x}
\]
\[
x = 3 - x
\]
\[
2x = 3
\]
\[
x = \frac{3}{2}
\]

### Bước 3: Tính giá trị hàm số tại các điểm quan trọng

1. **Tại \( x = 0 \)**:
\[
f(0) = \sqrt{0} - 1 + \sqrt{3 - 0} = -1 + \sqrt{3}
\]

2. **Tại \( x = 3 \)**:
\[
f(3) = \sqrt{3} - 1 + \sqrt{3 - 3} = \sqrt{3} - 1
\]

3. **Tại \( x = \frac{3}{2} \)**:
\[
f\left(\frac{3}{2}\right) = \sqrt{\frac{3}{2}} - 1 + \sqrt{3 - \frac{3}{2}}
\]
\[
= \sqrt{\frac{3}{2}} - 1 + \sqrt{\frac{3}{2}}
\]
\[
= 2\sqrt{\frac{3}{2}} - 1
\]
\[
= \sqrt{6} - 1
\]

### Bước 4: So sánh các giá trị

- \( f(0) = -1 + \sqrt{3} \approx 0.732 \)
- \( f(3) = \sqrt{3} - 1 \approx 0.732 \)
- \( f\left(\frac{3}{2}\right) = \sqrt{6} - 1 \approx 1.449 \)

### Kết luận

- **Giá trị nhỏ nhất** của hàm số trong khoảng \([0, 3]\) là \( f(0) = f(3) = -1 + \sqrt{3} \approx 0.732 \).
- **Giá trị lớn nhất** của hàm số là \( f\left(\frac{3}{2}\right) = \sqrt{6} - 1 \approx 1.449 \).