Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác liên quan đến góc và cạnh trong tam giác vuông.

**Bước 1: Mô tả bài toán**
- Gọi \( h \) là chiều cao của tòa nhà.
- Độ cao từ mặt đất đến điểm quan sát A là 7m.
- Độ cao của cột ăngten là 5m.

Từ vị trí quan sát A (độ cao 7m so với mặt đất), người ta nhìn thấy đỉnh B của cột ăngten dưới góc \( \alpha = 50^\circ \) và chân C của cột ăngten dưới góc \( \beta = 40^\circ \).

**Bước 2: Sử dụng tam giác vuông**
- Gọi khoảng cách ngang từ điểm A đến chân tòa nhà là \( d \).
- Trong tam giác vuông ABC (A là điểm quan sát, B là đỉnh cột ăngten, C là chân cột ăngten), áp dụng định lý lượng giác:

1. **Xét tam giác vuông ABC:**
- Góc tại A là \( \alpha = 50^\circ \).
- \( AB = h + 5 - 7 = h - 2 \) (độ cao của đỉnh B so với vị trí A).
- \( \tan(\alpha) = \frac{AB}{d} \)
\[
\tan(50^\circ) = \frac{h - 2}{d}
\]
\[
d = \frac{h - 2}{\tan(50^\circ)}
\]

2. **Xét tam giác vuông ACC':**
- Góc tại A là \( \beta = 40^\circ \).
- \( AC = h - 7 \) (độ cao của chân C so với vị trí A).
- \( \tan(\beta) = \frac{AC}{d} \)
\[
\tan(40^\circ) = \frac{h - 7}{d}
\]
\[
d = \frac{h - 7}{\tan(40^\circ)}
\]

**Bước 3: Đặt hai phương trình bằng nhau**

Từ hai phương trình:
\[
\frac{h - 2}{\tan(50^\circ)} = \frac{h - 7}{\tan(40^\circ)}
\]
Giải phương trình này để tìm \( h \):

\[
(h - 2) \cdot \tan(40^\circ) = (h - 7) \cdot \tan(50^\circ)
\]

Giải phương trình trên:
\[
h \cdot \tan(40^\circ) - 2 \cdot \tan(40^\circ) = h \cdot \tan(50^\circ) - 7 \cdot \tan(50^\circ)
\]
\[
h \cdot (\tan(40^\circ) - \tan(50^\circ)) = 2 \cdot \tan(40^\circ) - 7 \cdot \tan(50^\circ)
\]
\[
h = \frac{2 \cdot \tan(40^\circ) - 7 \cdot \tan(50^\circ)}{\tan(40^\circ) - \tan(50^\circ)}
\]

**Bước 4: Tính toán giá trị của \( h \)**

Sử dụng máy tính để tính \( \tan(40^\circ) \) và \( \tan(50^\circ) \):

- \( \tan(40^\circ) \approx 0.8391 \)
- \( \tan(50^\circ) \approx 1.1918 \)

Thay vào phương trình:
\[
h = \frac{2 \times 0.8391 - 7 \times 1.1918}{0.8391 - 1.1918}
\]
\[
h = \frac{1.6782 - 8.3426}{-0.3527}
\]
\[
h = \frac{-6.6644}{-0.3527} \approx 18.89 \text{ m}
\]

**Kết luận:**
Chiều cao của tòa nhà là khoảng \( h \approx 18.89 \) m.