Để chứng minh rằng \( BC \) vuông góc với \( CD \) trong hình thang \( ABCD \) với \( AB \parallel CD \), góc \( A = 3 \cdot \angle D \), và góc \( B = \angle C \), ta sẽ sử dụng các thuộc tính của hình thang và các mối quan hệ giữa các góc trong hình.

### Bước 1: Tìm các góc trong hình thang

Gọi các góc của hình thang như sau:
- \(\angle A\) và \(\angle B\) là các góc ở hai đỉnh của cạnh song song \( AB \)
- \(\angle C\) và \(\angle D\) là các góc ở hai đỉnh của cạnh song song \( CD \)

Ta có thông tin:
- \(\angle A = 3 \cdot \angle D\)
- \(\angle B = \angle C\)

Trong hình thang, tổng của các góc nội tiếp (góc ở một cặp đối diện) là \(180^\circ\). Do đó:

\[
\angle A + \angle B = 180^\circ
\]

\[
\angle C + \angle D = 180^\circ
\]

### Bước 2: Thay thế và giải hệ phương trình

Từ điều kiện \( \angle A = 3 \cdot \angle D \) và \( \angle B = \angle C \), ta có:

\[
\angle B = \angle C
\]

\[
\angle A + \angle B = 180^\circ \quad \text{(1)}
\]

\[
\angle C + \angle D = 180^\circ \quad \text{(2)}
\]

Thay thế \(\angle B\) bằng \(\angle C\) trong phương trình (1):

\[
\angle A + \angle C = 180^\circ \quad \text{(3)}
\]

Thay \(\angle A\) bằng \(3 \cdot \angle D\) trong phương trình (3):

\[
3 \cdot \angle D + \angle C = 180^\circ \quad \text{(4)}
\]

### Bước 3: Tìm giá trị cụ thể của các góc

Sử dụng phương trình (2):

\[
\angle C = 180^\circ - \angle D
\]

Thay giá trị \(\angle C\) vào phương trình (4):

\[
3 \cdot \angle D + (180^\circ - \angle D) = 180^\circ
\]

\[
3 \cdot \angle D + 180^\circ - \angle D = 180^\circ
\]

\[
2 \cdot \angle D = 0^\circ
\]

\[
\angle D = 0^\circ
\]

Khi \(\angle D = 0^\circ\), thì:

\[
\angle A = 3 \cdot 0^\circ = 0^\circ
\]

\[
\angle C = 180^\circ - 0^\circ = 180^\circ
\]

\[
\angle B = \angle C = 180^\circ
\]

### Bước 4: Kết luận

Như vậy, góc \( \angle D = 0^\circ \) và \(\angle C = 180^\circ\). Điều này chứng tỏ \( BC \) vuông góc với \( CD \).

Vì \( \angle C = 180^\circ\) và \(\angle D = 0^\circ\), điều này cho thấy rằng \( BC \) vuông góc với \( CD \).