Để giải bài toán này, ta cần thực hiện các bước sau:

### a) Rút gọn biểu thức \( M \):

Biểu thức \( M \) là:

\[ M = \left( \frac{4x}{x^2 - 4} + \frac{x - 2}{2x + 4} \right) \cdot \frac{2x}{x + 2} - \frac{2}{2 - x} \]

1. **Rút gọn từng phần của biểu thức:**

- **Rút gọn \( \frac{4x}{x^2 - 4} \):**

\[
\frac{4x}{x^2 - 4} = \frac{4x}{(x - 2)(x + 2)}
\]

- **Rút gọn \( \frac{x - 2}{2x + 4} \):**

\[
\frac{x - 2}{2x + 4} = \frac{x - 2}{2(x + 2)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x - 2}{x + 2}
\]

- **Rút gọn \( \frac{2x}{x + 2} \):**

\[
\frac{2x}{x + 2}
\]

- **Rút gọn \( \frac{2}{2 - x} \):**

\[
\frac{2}{2 - x} = -\frac{2}{x - 2}
\]

2. **Thực hiện phép cộng \( \frac{4x}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{x - 2}{2(x + 2)} \):**

Để cộng hai phân thức này, ta đưa về cùng mẫu số chung:

\[
\frac{4x}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{4x}{(x - 2)(x + 2)}
\]

\[
\frac{x - 2}{2(x + 2)} = \frac{(x - 2)(x - 2)}{2(x + 2)(x - 2)} = \frac{(x - 2)^2}{2(x + 2)(x - 2)}
\]

Cộng hai phân thức này:

\[
\frac{4x}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{(x - 2)^2}{2(x + 2)(x - 2)}
\]

Quy đồng mẫu số:

\[
\frac{8x + (x - 2)^2}{2(x - 2)(x + 2)} = \frac{8x + x^2 - 4x + 4}{2(x - 2)(x + 2)} = \frac{x^2 + 4x + 4}{2(x - 2)(x + 2)}
\]

\[
= \frac{(x + 2)^2}{2(x - 2)(x + 2)} = \frac{x + 2}{2(x - 2)}
\]

3. **Nhân với \( \frac{2x}{x + 2} \):**

\[
\left( \frac{x + 2}{2(x - 2)} \right) \cdot \frac{2x}{x + 2} = \frac{2x}{2(x - 2)} = \frac{x}{x - 2}
\]

4. **Trừ \( \frac{2}{2 - x} \):**

Chuyển đổi \( \frac{2}{2 - x} \) về \( \frac{2}{-(x - 2)} \):

\[
\frac{2}{2 - x} = -\frac{2}{x - 2}
\]

Vậy biểu thức:

\[
\frac{x}{x - 2} - \left(-\frac{2}{x - 2}\right) = \frac{x + 2}{x - 2}
\]

**Kết quả rút gọn:**

\[
M = \frac{x + 2}{x - 2}
\]

### b) Tìm \( x \) thuộc \( \mathbb{Z} \) để \( M \) thuộc \( \mathbb{Z} \):

Biểu thức \( M = \frac{x + 2}{x - 2} \) thuộc \( \mathbb{Z} \) khi \( \frac{x + 2}{x - 2} \) là số nguyên. Đặt:

\[
\frac{x + 2}{x - 2} = k \quad (k \text{ là số nguyên})
\]

Giải phương trình này:

\[
x + 2 = k(x - 2)
\]

\[
x + 2 = kx - 2k
\]

\[
x - kx = -2 - 2k
\]

\[
x(1 - k) = -2 - 2k
\]

\[
x = \frac{-2 - 2k}{1 - k}
\]

Để \( x \) là số nguyên, \( -2 - 2k \) phải chia hết cho \( 1 - k \). Ta kiểm tra giá trị \( k \):

- **Nếu \( k = 1 \):**

\[
x = \frac{-2 - 2 \cdot 1}{1 - 1} = \text{không xác định}
\]

- **Nếu \( k = 0 \):**

\[
x = \frac{-2 - 2 \cdot 0}{1 - 0} = -2
\]

- **Nếu \( k = -1 \):**

\[
x = \frac{-2 - 2 \cdot (-1)}{1 - (-1)} = \frac{-2 + 2}{2} = 0
\]

- **Nếu \( k = 2 \):**

\[
x = \frac{-2 - 2 \cdot 2}{1 - 2} = \frac{-2 - 4}{-1} = 6
\]

- **Nếu \( k = -2 \):**

\[
x = \frac{-2 - 2 \cdot (-2)}{1 - (-2)} = \frac{-2 + 4}{3} = \frac{2}{3} \text{ (không phải số nguyên)}
\]

**Các giá trị nguyên của \( x \) sao cho \( M \) là số nguyên là \( x = -2, 0, 6 \).**

Để xử lý biểu thức \( M \) và giải các yêu cầu, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

### Bước a: Rút gọn \( M \)

\( M = \left( \frac{4x}{x^2 - 4} + \frac{x - 2}{2x + 4} \right) \cdot \frac{2x}{x + 2} - \frac{2}{2 - x} \)

#### 1. Rút gọn từng phần

**Phần 1:** Rút gọn \( \frac{4x}{x^2 - 4} \)

\( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \)

Vậy:

\[
\frac{4x}{x^2 - 4} = \frac{4x}{(x - 2)(x + 2)}
\]

**Phần 2:** Rút gọn \( \frac{x - 2}{2x + 4} \)

\( 2x + 4 = 2(x + 2) \)

Vậy:

\[
\frac{x - 2}{2x + 4} = \frac{x - 2}{2(x + 2)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x - 2}{x + 2}
\]

**Phần 3:** Rút gọn \( \frac{2x}{x + 2} \)

Phần này không cần rút gọn thêm.

**Phần 4:** Rút gọn \( \frac{2}{2 - x} \)

Có thể viết lại như sau:

\[
\frac{2}{2 - x} = -\frac{2}{x - 2}
\]

#### 2. Kết hợp các phần

Giờ ta sẽ thay các phần đã rút gọn vào biểu thức \( M \):

\[
M = \left( \frac{4x}{(x - 2)(x + 2)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x - 2}{x + 2} \right) \cdot \frac{2x}{x + 2} + \frac{2}{x - 2}
\]

**Để gộp các phần lại, ta cần có mẫu số chung:**

Mẫu số chung là \( 2(x - 2)(x + 2) \):

\[
M = \left( \frac{4x \cdot 2 + (x - 2) \cdot (x - 2)}{2(x - 2)(x + 2)} \right) \cdot \frac{2x}{x + 2} + \frac{2}{x - 2}
\]

**Rút gọn một chút**:

Khi nhân với \( \frac{2x}{x + 2} \), biểu thức trở thành:

\[
M = \frac{2x(4x + (x - 2)^2)}{2(x - 2)(x + 2)^2} + \frac{2}{(x - 2)}
\]

Vì vậy, thu gọn sau khi thay vào, được:

\[
M = \frac{4x^2 + (x^2 - 4x + 4)}{(x - 2)(x + 2)} \cdot \frac{2x}{x + 2} + \frac{2}{(x - 2)}
\]

### Bước b: Tìm \( x \) thuộc \( \mathbb{Z} \) để \( M \) thuộc \( \mathbb{Z} \)

Để \( M \) trở thành số nguyên, cần có:

1. Mẫu không bằng 0.
2. Tử phải chia hết cho mẫu.

Từ đó, thực hiện điều kiện chia hết cho trường hợp cụ thể.

Ta có:

\[
M = \frac{2x(4x + x^2 - 4x + 4)}{2(x - 2)(x + 2)} + \frac{2}{(x - 2)}
\]

### Chúng ta cần tính giá trị cho \( M \) là số nguyên cho các giá trị \( x \) thuộc \( \mathbb{Z} \).

1. **Kiểm tra giá trị phù hợp** như \( x = 0, 1, 2, -1, -2,... \).

Chẳng hạn:

- \( x = 0 \): không xác định do mẫu bằng 0.
- \( x = 3 \): Kiểm tra điều kiện M có số nguyên hay không...

Cứ lặp như vậy cho đến khi tìm ra giá trị tương ứng.

Về mặt tính chất, khó khăn có thể cần thêm các giá trị cho điều kiện \( 2 \) và \( x - 2\).

### Kết luận

Trên cơ sở đó, dần dần tìm được các giá trị phù hợp hoặc sử dụng tính toán máy để kiểm tra kết quả.