### Bài 1: Tìm điểm D để gốc tọa độ O là trọng tâm tam giác ABC

Cho các điểm \( A(1,3) \), \( B(2,4) \), \( C(-3,2) \).

Gọi \( O(0,0) \) là gốc tọa độ và \( G \) là trọng tâm của tam giác ABC. Trọng tâm của tam giác là điểm chia đều đoạn thẳng từ tổng các đỉnh tam giác. Tọa độ của trọng tâm \( G \) được tính theo công thức:

\[
G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3} \right)
\]

Vì \( G \) trùng với gốc tọa độ \( O(0,0) \), ta có:

\[
\frac{1 + 2 - 3}{3} = 0 \quad \text{và} \quad \frac{3 + 4 + 2}{3} = 0
\]

Từ đó, ta có hệ phương trình:

\[
1 + 2 - 3 + x_D = 0 \quad \text{và} \quad 3 + 4 + 2 + y_D = 0
\]

Giải hệ phương trình:

\[
\frac{1 + 2 - 3 + x_D}{3} = 0 \quad \text{và} \quad \frac{3 + 4 + 2 + y_D}{3} = 0
\]

Điều này dẫn đến:

\[
x_D = 0 \quad \text{và} \quad y_D = -9
\]

Vậy, tọa độ của điểm \( D \) là \( D(0,-9) \).

### Bài 2: Tính góc giữa hai vector \( \vec{a} \) và \( \vec{b} \)

Góc giữa hai vector được tính bằng công thức:

\[
\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}
\]

Trong đó:

- \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) là tích vô hướng của hai vector.
- \( |\vec{a}| \) và \( |\vec{b}| \) là độ dài của các vector.

#### Phần a: \( \vec{a} = (-3, 1) \), \( \vec{b} = (2, 6) \)

1. Tính tích vô hướng:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = (-3) \times 2 + 1 \times 6 = -6 + 6 = 0
\]
2. Tính độ dài của các vector:
\[
|\vec{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}
\]
\[
|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}
\]
3. Vì \( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \), nên \( \cos \theta = 0 \). Vậy góc giữa \( \vec{a} \) và \( \vec{b} \) là \( 90^\circ \).

#### Phần b: \( \vec{a} = (3, 1) \), \( \vec{b} = (2, 4) \)

1. Tính tích vô hướng:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times 2 + 1 \times 4 = 6 + 4 = 10
\]
2. Tính độ dài của các vector:
\[
|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}
\]
\[
|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}
\]
3. Tính \( \cos \theta \):
\[
\cos \theta = \frac{10}{\sqrt{10} \times \sqrt{20}} = \frac{10}{\sqrt{200}} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
\]
Vậy, \( \theta = 45^\circ \).

#### Phần c: \( \vec{a} = (-\sqrt{2}, 1) \), \( \vec{b} = (2, -\sqrt{2}) \)

1. Tính tích vô hướng:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = (-\sqrt{2}) \times 2 + 1 \times (-\sqrt{2}) = -2\sqrt{2} - \sqrt{2} = -3\sqrt{2}
\]
2. Tính độ dài của các vector:
\[
|\vec{a}| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}
\]
\[
|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 2} = \sqrt{6}
\]
3. Tính \( \cos \theta \):
\[
\cos \theta = \frac{-3\sqrt{2}}{\sqrt{3} \times \sqrt{6}} = \frac{-3\sqrt{2}}{\sqrt{18}} = -\frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = -1
\]
Vậy, \( \theta = 180^\circ \).

### Bài 1: Tìm điểm D để O là trọng tâm tam giác ABC

Trọng tâm G của tam giác ABC với các điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là \( A(1, 3) \), \( B(2, 4) \), \( C(-3, 2) \) và D tọa độ \( D(x_D, y_D) \) được tính theo công thức:

\[
G = \left( \frac{x_A + x_B + x_C + x_D}{4}, \frac{y_A + y_B + y_C + y_D}{4} \right)
\]

Vì yêu cầu trọng tâm G phải trùng với gốc tọa độ O(0, 0), nên ta có:

\[
\frac{1 + 2 - 3 + x_D}{4} = 0
\]
\[
\frac{3 + 4 + 2 + y_D}{4} = 0
\]

Giải hai phương trình này:

1. **Phương trình x**:
\[
1 + 2 - 3 + x_D = 0 \Rightarrow 0 + x_D = 0 \Rightarrow x_D = 0.
\]

2. **Phương trình y**:
\[
3 + 4 + 2 + y_D = 0 \Rightarrow 9 + y_D = 0 \Rightarrow y_D = -9.
\]

Vậy điểm D có tọa độ là:

\[
D(0, -9).
\]

### Bài 2: Tính góc giữa hai vectơ

Để tính góc giữa hai vectơ \( \vec{a} \) và \( \vec{b} \), sử dụng công thức:

\[
\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}
\]

trong đó \( \vec{a} \cdot \vec{b} \) là tích vô hướng của hai vectơ.

#### a. \( \vec{a} = (-3, 1), \; \vec{b} = (2, 6) \)

1. Tính tích vô hướng \( \vec{a} \cdot \vec{b} \):
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = (-3) \cdot 2 + 1 \cdot 6 = -6 + 6 = 0.
\]

2. Tính độ dài của các vectơ:
\[
|\vec{a}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10},
\]
\[
|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}.
\]

3. Tính \( \cos \theta \):
\[
\cos \theta = \frac{0}{\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{10}} = 0.
\]

Giá trị này cho thấy góc giữa hai vectơ:

\[
\theta = 90^\circ.
\]

#### b. \( \vec{a} = (3, 1), \; \vec{b} = (2, 4) \)

1. Tính tích vô hướng:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 2 + 1 \cdot 4 = 6 + 4 = 10.
\]

2. Tính độ dài của các vectơ:
\[
|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10},
\]
\[
|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.
\]

3. Tính \( \cos \theta \):
\[
\cos \theta = \frac{10}{\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{10}{2\sqrt{50}} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}.
\]

Góc \( \theta \) tương ứng là:

\[
\theta = 45^\circ.
\]

#### c. \( \vec{a} = (-\sqrt{2}, 1), \; \vec{b} = (2, -\sqrt{2}) \)

1. Tính tích vô hướng:
\[
\vec{a} \cdot \vec{b} = (-\sqrt{2}) \cdot 2 + 1 \cdot (-\sqrt{2}) = -2\sqrt{2} - \sqrt{2} = -3\sqrt{2}.
\]

2. Tính độ dài của các vectơ:
\[
|\vec{a}| = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3},
\]
\[
|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 2} = \sqrt{6}.
\]

3. Tính \( \cos \theta \):
\[
\cos \theta = \frac{-3\sqrt{2}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-3\sqrt{2}}{\sqrt{18}} = \frac{-3\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = -1.
\]

Góc \( \theta \) tương ứng là:

\[
\theta = 180^\circ.
\]

### Kết luận

- Bài 1: Điểm D là \( D(0, -9) \).
- Bài 2:
- a. \( \theta = 90^\circ \)
- b. \( \theta = 45^\circ \)
- c. \( \theta = 180^\circ \)