Chúng ta cần giải phương trình sau trên khoảng \( [0; 3\pi] \):

\[
\frac{1}{\cos^2 x} - \frac{4\sqrt{3}}{3} \tan x = 0
\]

### Bước 1: Chuyển đổi phương trình
Ta có thể viết lại phương trình như sau:

\[
\frac{1}{\cos^2 x} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \tan x
\]

Sử dụng \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\), ta có:

\[
\frac{1}{\cos^2 x} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sin x}{\cos x}
\]

Nhân cả hai vế với \(\cos x\) (với điều kiện \(\cos x \neq 0\)), ta được:

\[
\frac{1}{\cos x} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \sin x
\]

### Bước 2: Đưa về phương trình bậc hai

Nhân cả hai vế với \( \cos x \):

\[
1 = \frac{4\sqrt{3}}{3} \sin x \cos x
\]

Sử dụng công thức nhân đôi: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \), ta có:

\[
1 = \frac{2\sqrt{3}}{3} \sin 2x
\]

Chuyển đổi phương trình:

\[
\sin 2x = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

### Bước 3: Tìm nghiệm

Phương trình \( \sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2} \) có nghiệm:

\[
2x = \frac{\pi}{3} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x = \pi - \frac{\pi}{3} + k2\pi
\]

1. Trường hợp 1:
\[
2x = \frac{\pi}{3} + k2\pi
\]
\[
x = \frac{\pi}{6} + k\pi
\]

2. Trường hợp 2:
\[
2x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi
\]
\[
x = \frac{\pi}{3} + k\pi
\]

### Bước 4: Tìm nghiệm trên khoảng \( [0; 3\pi] \)

1. Với \( x = \frac{\pi}{6} + k\pi \):
- \( k = 0 \): \( x = \frac{\pi}{6} \)
- \( k = 1 \): \( x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6} \)
- \( k = 2 \): \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6} \)

2. Với \( x = \frac{\pi}{3} + k\pi \):
- \( k = 0 \): \( x = \frac{\pi}{3} \)
- \( k = 1 \): \( x = \frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3} \)
- \( k = 2 \): \( x = \frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3} \)

### Kết luận:

Các nghiệm của phương trình trên khoảng \( [0; 3\pi] \) là:

\[
x = \frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}
\]

Để giải phương trình

\[
\frac{1}{\cos^2 x} - \frac{4\sqrt{3}}{3} \tan x = 0
\]

trên khoảng \([0; 3\pi]\), ta thực hiện các bước sau:

1. **Đặt lại phương trình**:
Ta sửa đổi phương trình về dạng tổng quát hơn bằng cách nhân cả hai vế với \(\cos^2 x\) (với điều kiện \(\cos^2 x \neq 0\)):

\[
1 - \frac{4\sqrt{3}}{3} \sin x \cos x = 0
\]

Thay \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\) và vì \(...\) nên ta có:

\[
1 = \frac{4\sqrt{3}}{3} \sin x \cos x
\]

Hay qua công thức \(\sin 2x = 2 \sin x \cos x\), ta có:

\[
\sin 2x = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

2. **Giải phương trình \(\sin 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}\)**:
Các nghiệm của phương trình này sẽ là:

\[
2x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{và} \quad 2x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Từ đây, ta có:

\[
x = \frac{\pi}{6} + k\pi \quad \text{và} \quad x = \frac{\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

3. **Xét nghiệm trong khoảng \([0, 3\pi]\)**:
- Với \(x = \frac{\pi}{6} + k\pi\):
- \(k = 0: x = \frac{\pi}{6}\)
- \(k = 1: x = \frac{7\pi}{6}\)
- \(k = 2: x = \frac{13\pi}{6}\) (không nằm trong khoảng \([0, 3\pi]\))

- Với \(x = \frac{\pi}{3} + k\pi\):
- \(k = 0: x = \frac{\pi}{3}\)
- \(k = 1: x = \frac{4\pi}{3}\)
- \(k = 2: x = \frac{7\pi}{3}\) (không nằm trong khoảng \([0, 3\pi]\))

4. **Kết luận**:
Nghiệm của phương trình trên khoảng \([0, 3\pi]\) là:

\[
x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{7\pi}{6}
\]

Nên nghiệm cuối cùng của phương trình \(\frac{1}{\cos^2 x} - \frac{4\sqrt{3}}{3} \tan x = 0\) trên \([0, 3\pi]\) là:

\[
x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{7\pi}{6}
\]