Để tính đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x^2 + 2x + 3}{x - 1} \), bạn cần sử dụng quy tắc đạo hàm của một hàm số phân thức. Quy tắc này được gọi là quy tắc đạo hàm của phân thức, được viết như sau:

Nếu \( y = \frac{u(x)}{v(x)} \), thì đạo hàm của \( y \) là:

\[ y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} \]

Trong trường hợp của bạn:

- \( u(x) = x^2 + 2x + 3 \)
- \( v(x) = x - 1 \)

Ta cần tính đạo hàm của \( u(x) \) và \( v(x) \):

- Đạo hàm của \( u(x) \), tức là \( u'(x) \), là \( 2x + 2 \).
- Đạo hàm của \( v(x) \), tức là \( v'(x) \), là \( 1 \).

Áp dụng quy tắc đạo hàm của phân thức:

\[
y' = \frac{(2x + 2)(x - 1) - (x^2 + 2x + 3) \cdot 1}{(x - 1)^2}
\]

Bây giờ ta tính toán biểu thức trên:

1. Tính \((2x + 2)(x - 1)\):

\[
(2x + 2)(x - 1) = 2x^2 + 2x - 2x - 2 = 2x^2 - 2
\]

2. Thay vào biểu thức đạo hàm:

\[
y' = \frac{(2x^2 - 2) - (x^2 + 2x + 3)}{(x - 1)^2}
\]

3. Rút gọn tử số:

\[
2x^2 - 2 - x^2 - 2x - 3 = x^2 - 2x - 5
\]

Vậy, đạo hàm của hàm số là:

\[
y' = \frac{x^2 - 2x - 5}{(x - 1)^2}
\]