Để tính tốc độ của Nam và mẹ, ta có thể giải bài toán này qua các bước sau:

### Bước 1: Tính thời gian Nam rời nhà đến trường và thời gian mẹ rời nhà đến cơ quan.

1. **Thời gian Nam rời nhà đến trường:**
- Nam đến cổng trường lúc 7:15 và sau đó quay về, rồi gặp mẹ và tiếp tục đến trường.
- Nam bị muộn 5 phút so với giờ vào học, tức là Nam đến trường lúc 7:35 (7:30 + 5 phút).
- Do đó, thời gian Nam từ khi rời nhà đến khi đến trường là 7:35 - 7:00 = 35 phút.

2. **Thời gian Nam đi từ nhà đến trường ban đầu:**
- Thời gian Nam đi từ nhà đến trường là 15 phút (7:00 đến 7:15).

3. **Thời gian Nam quay lại và tiếp tục đi:**
- Nam phải quay về để gặp mẹ và tiếp tục đến trường, tổng thời gian đi là 35 phút, nên thời gian quay về và đi lại là 35 phút - 15 phút = 20 phút.

### Bước 2: Tính thời gian mẹ đi bộ đến cơ quan.

- Mẹ Nam rời nhà cùng lúc với Nam và đi bộ đến cơ quan.
- Do Nam gặp mẹ và xin chữ ký trên đường đi, điều đó có nghĩa là mẹ đã đi đến cơ quan trước khi Nam quay lại trường.
- Mẹ đi bộ một đoạn đến cơ quan và Nam gặp mẹ sau khi quay lại. Thời gian mẹ đi là 20 phút (tương ứng với thời gian Nam đi về và tiếp tục đi đến trường).

### Bước 3: Tính tốc độ của Nam và mẹ.

1. **Tính tốc độ của Nam:**
- Khoảng cách từ nhà đến trường là 5 km.
- Thời gian Nam đi từ nhà đến trường là 15 phút = 0,25 giờ.
- Vận tốc của Nam:
\[
V_{\text{Nam}} = \frac{\text{Khoảng cách}}{\text{Thời gian}} = \frac{5 \text{ km}}{0,25 \text{ giờ}} = 20 \text{ km/h}
\]

2. **Tính tốc độ của mẹ:**
- Mẹ đi từ nhà đến cơ quan trong 20 phút = 0,333 giờ.
- Khoảng cách từ nhà đến cơ quan là 5 km.
- Vận tốc của mẹ:
\[
V_{\text{Mẹ}} = \frac{\text{Khoảng cách}}{\text{Thời gian}} = \frac{5 \text{ km}}{0,333 \text{ giờ}} \approx 15 \text{ km/h}
\]

### Kết quả:

- Tốc độ của Nam là 20 km/h.
- Tốc độ của mẹ là khoảng 15 km/h.

Để giải bài toán này, ta cần tính vận tốc của Nam và mẹ Nam. Ta sẽ làm theo các bước sau:

### 1. Xác định thông tin và thiết lập phương trình

- **Khoảng cách từ nhà đến trường:** 5 km
- **Thời gian từ khi Nam rời nhà đến khi đến trường:** 15 phút (từ 7:00 đến 7:15)
- **Thời gian từ khi Nam rời nhà đến khi gặp mẹ (tại cổng trường):** 7:15
- **Thời gian từ khi Nam gặp mẹ đến khi Nam vào lớp học:** 15 phút (từ 7:15 đến 7:30)
- **Vận tốc của Nam và mẹ không đổi**

### 2. Tính vận tốc của Nam

**Tính thời gian di chuyển của Nam đến cổng trường:**
- Nam đến trường lúc 7:15, thời gian từ lúc rời nhà đến lúc đó là 15 phút = 0,25 giờ.

**Tính vận tốc của Nam:**
- Khoảng cách từ nhà đến trường là 5 km.
- Thời gian di chuyển là 0,25 giờ.

Vận tốc của Nam là:

\[
\text{Vận tốc của Nam} = \frac{\text{Khoảng cách}}{\text{Thời gian}} = \frac{5 \text{ km}}{0,25 \text{ giờ}} = 20 \text{ km/h}
\]

### 3. Tính vận tốc của mẹ Nam

**Thời gian di chuyển của mẹ Nam từ 7:00 đến khi gặp Nam:**
- Nam gặp mẹ lúc 7:15, mẹ bắt đầu đi lúc 7:00, nên mẹ đi trong 15 phút = 0,25 giờ.

**Khoảng cách mẹ đi từ nhà đến gặp Nam:**
- Khoảng cách mẹ đi được là khoảng cách từ nhà đến trường trừ đi khoảng cách Nam đã đi:

Khi Nam quay về, mẹ đã đi được một đoạn bằng khoảng cách Nam quay về. Khi Nam vào lớp học lúc 7:30, tổng thời gian mẹ đi bộ đến cơ quan là 30 phút (từ 7:00 đến 7:30), mẹ đã đi bộ trong 0,5 giờ.

**Tính khoảng cách mẹ đã đi trong 0,5 giờ:**

- Khoảng cách mẹ đi bộ được bằng tổng quãng đường mà mẹ đã đi trong 30 phút, tương đương với quãng đường mẹ đi trong 15 phút gấp đôi.

Tổng quãng đường mẹ đi được là bằng khoảng cách từ nhà đến cơ quan. Khoảng cách từ nhà đến trường là 5 km. Do đó, khoảng cách từ nhà đến cơ quan cũng bằng 5 km.

**Tính vận tốc của mẹ Nam:**

\[
\text{Vận tốc của mẹ} = \frac{\text{Khoảng cách}}{\text{Thời gian}} = \frac{5 \text{ km}}{0,5 \text{ giờ}} = 10 \text{ km/h}
\]

### Kết luận

- **Vận tốc của Nam:** 20 km/h
- **Vận tốc của mẹ Nam:** 10 km/h