Để tìm số tự nhiên \(a\) và \(b\) sao cho phương trình \((2008a + 3b + 1)(2008 + 2008a + b) = 225\) có nghiệm, ta cần kiểm tra các giá trị có thể có của \(a\) và \(b\).

Phương trình đã cho:

\[
(2008a + 3b + 1)(2008 + 2008a + b) = 225
\]

Trước hết, phân tích 225 thành tích các số tự nhiên:

\[
225 = 1 \times 225
\]
\[
225 = 3 \times 75
\]
\[
225 = 5 \times 45
\]
\[
225 = 9 \times 25
\]
\[
225 = 15 \times 15
\]

Bây giờ, kiểm tra từng cặp để tìm các giá trị \(a\) và \(b\).

### Trường hợp 1:
\[
2008a + 3b + 1 = 1 \quad \text{và} \quad 2008 + 2008a + b = 225
\]
hoặc
\[
2008a + 3b + 1 = 225 \quad \text{và} \quad 2008 + 2008a + b = 1
\]

#### Kiểm tra \(2008a + 3b + 1 = 1\):

\[
2008a + 3b + 1 = 1 \implies 2008a + 3b = 0
\]

Do \(a\) và \(b\) là các số tự nhiên, phương trình này không có nghiệm vì \(2008a + 3b\) không thể bằng 0 với \(a\) và \(b\) tự nhiên.

#### Kiểm tra \(2008a + 3b + 1 = 225\):

\[
2008a + 3b + 1 = 225 \implies 2008a + 3b = 224
\]
\[
2008 + 2008a + b = 1 \implies 2008a + b = -2007
\]

Vì \(2008a + b\) không thể là số âm, trường hợp này cũng không có nghiệm.

### Trường hợp 2:
\[
2008a + 3b + 1 = 3 \quad \text{và} \quad 2008 + 2008a + b = 75
\]
hoặc
\[
2008a + 3b + 1 = 75 \quad \text{và} \quad 2008 + 2008a + b = 3
\]

#### Kiểm tra \(2008a + 3b + 1 = 3\):

\[
2008a + 3b + 1 = 3 \implies 2008a + 3b = 2
\]

Do \(2008a + 3b\) phải là số chẵn, kiểm tra thấy \(a\) và \(b\) tự nhiên cũng không có nghiệm.

#### Kiểm tra \(2008a + 3b + 1 = 75\):

\[
2008a + 3b + 1 = 75 \implies 2008a + 3b = 74
\]
\[
2008 + 2008a + b = 3 \implies 2008a + b = -2005
\]

Vì \(2008a + b\) không thể là số âm, trường hợp này cũng không có nghiệm.

### Trường hợp 3:
\[
2008a + 3b + 1 = 5 \quad \text{và} \quad 2008 + 2008a + b = 45
\]
hoặc
\[
2008a + 3b + 1 = 45 \quad \text{và} \quad 2008 + 2008a + b = 5
\]

#### Kiểm tra \(2008a + 3b + 1 = 5\):

\[
2008a + 3b + 1 = 5 \implies 2008a + 3b = 4
\]

Kiểm tra thấy \(a\) và \(b\) tự nhiên cũng không có nghiệm.

#### Kiểm tra \(2008a + 3b + 1 = 45\):

\[
2008a + 3b + 1 = 45 \implies 2008a + 3b = 44
\]
\[
2008 + 2008a + b = 5 \implies 2008a + b = -2003
\]

Vì \(2008a + b\) không thể là số âm, trường hợp này cũng không có nghiệm.

### Trường hợp 4:
\[
2008a + 3b + 1 = 9 \quad \text{và} \quad 2008 + 2008a + b = 25
\]
hoặc
\[
2008a + 3b + 1 = 25 \quad \text{và} \quad 2008 + 2008a + b = 9
\]

#### Kiểm tra \(2008a + 3b + 1 = 9\):

\[
2008a + 3b + 1 = 9 \implies 2008a + 3b = 8
\]

Kiểm tra thấy \(a\) và \(b\) tự nhiên cũng không có nghiệm.

#### Kiểm tra \(2008a + 3b + 1 = 25\):

\[
2008a + 3b + 1 = 25 \implies 2008a + 3b = 24
\]
\[
2008 + 2008a + b = 9 \implies 2008a + b = -1999
\]

Vì \(2008a + b\) không thể là số âm, trường hợp này cũng không có nghiệm.

### Trường hợp 5:
\[
2008a + 3b + 1 = 15 \quad \text{và} \quad 2008 + 2008a + b = 15
\]

#### Kiểm tra \(2008a + 3b + 1 = 15\):

\[
2008a + 3b + 1 = 15 \implies 2008a + 3b = 14
\]

Kiểm tra thấy \(a\) và \(b\) tự nhiên cũng không có nghiệm.

Kết luận: Không có giá trị tự nhiên \(a\) và \(b\) nào thỏa mãn phương trình \((2008a + 3b + 1)(2008 + 2008a + b) = 225\).