Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm \( E \) với \( E = 9x^2 + 5y^2 - 6xy + 6x - 12y + 9 \), ta cần biến đổi biểu thức này thành dạng dễ xử lý hơn. Một cách tiếp cận là hoàn thành bình phương để dễ dàng xác định giá trị nhỏ nhất.

### Bước 1: Viết lại hàm dưới dạng ma trận

Hàm \( E \) có thể được viết dưới dạng ma trận bậc 2 như sau:

\[
E = \begin{pmatrix}
x & y
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
9 & -3 \\
-3 & 5
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix}
6 & -12
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
+ 9
\]

### Bước 2: Hoàn thành bình phương

Ta sẽ hoàn thành bình phương để đưa hàm về dạng chuẩn.

1. Tính ma trận hessian và ma trận đảo của hàm bậc hai.

Ma trận Hessian của hàm \( E \) là:

\[
H = \begin{pmatrix}
18 & -6 \\
-6 & 10
\end{pmatrix}
\]

2. Tính ma trận đảo của Hessian (nếu cần) và tìm giá trị cực trị bằng cách giải hệ phương trình liên quan.

### Bước 3: Tìm điểm cực tiểu

Để tìm điểm cực tiểu, ta lấy đạo hàm riêng của hàm \( E \) theo \( x \) và \( y \) và đặt chúng bằng 0.

\[
\frac{\partial E}{\partial x} = 18x - 6y + 6
\]

\[
\frac{\partial E}{\partial y} = 10y - 6x - 12
\]

Giải hệ phương trình:

\[
18x - 6y + 6 = 0
\]

\[
10y - 6x - 12 = 0
\]

Từ phương trình đầu tiên:

\[
18x - 6y = -6 \implies 3x - y = -1
\]

Từ phương trình thứ hai:

\[
10y - 6x = 12 \implies 5y - 3x = 6
\]

Giải hệ phương trình:

Từ phương trình \( 3x - y = -1 \):

\[
y = 3x + 1
\]

Thay vào phương trình \( 5y - 3x = 6 \):

\[
5(3x + 1) - 3x = 6
\]

\[
15x + 5 - 3x = 6
\]

\[
12x = 1 \implies x = \frac{1}{12}
\]

Thay vào phương trình \( y = 3x + 1 \):

\[
y = 3 \left( \frac{1}{12} \right) + 1 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}
\]

### Bước 4: Tính giá trị nhỏ nhất

Thay \( x = \frac{1}{12} \) và \( y = \frac{5}{4} \) vào hàm \( E \):

\[
E = 9 \left( \frac{1}{12} \right)^2 + 5 \left( \frac{5}{4} \right)^2 - 6 \left( \frac{1}{12} \cdot \frac{5}{4} \right) + 6 \cdot \frac{1}{12} - 12 \cdot \frac{5}{4} + 9
\]

Tính toán từng phần:

\[
9 \left( \frac{1}{144} \right) = \frac{9}{144} = \frac{1}{16}
\]

\[
5 \left( \frac{25}{16} \right) = \frac{125}{16}
\]

\[
6 \left( \frac{5}{48} \right) = \frac{30}{48} = \frac{5}{8}
\]

\[
6 \cdot \frac{1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}
\]

\[
12 \cdot \frac{5}{4} = 15
\]

Thay vào công thức:

\[
E = \frac{1}{16} + \frac{125}{16} - \frac{5}{8} + \frac{1}{2} - 15 + 9
\]

\[
E = \frac{1 + 125 - 10 + 8 - 240 + 144}{16}
\]

\[
E = \frac{28 - 240}{16} = \frac{-212}{16} = -13.25
\]

### Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của \( E \) là \(-13.25\), và nó đạt được tại \( x = \frac{1}{12} \) và \( y = \frac{5}{4} \).

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm EE với E=9x2+5y2−6xy+6x−12y+9E=9x2+5y2−6xy+6x−12y+9, ta cần biến đổi biểu thức này thành dạng dễ xử lý hơn. Một cách tiếp cận là hoàn thành bình phương để dễ dàng xác định giá trị nhỏ nhất.

### Bước 1: Viết lại hàm dưới dạng ma trận

Hàm EE có thể được viết dưới dạng ma trận bậc 2 như sau:

E=(xy)(9−3−35)(xy)+(6−12)(xy)+9E=(xy)(9−3−35)(xy)+(6−12)(xy)+9

### Bước 2: Hoàn thành bình phương

Ta sẽ hoàn thành bình phương để đưa hàm về dạng chuẩn.

1. Tính ma trận hessian và ma trận đảo của hàm bậc hai.

Ma trận Hessian của hàm EE là:

H=(18−6−610)H=(18−6−610)

2. Tính ma trận đảo của Hessian (nếu cần) và tìm giá trị cực trị bằng cách giải hệ phương trình liên quan.

### Bước 3: Tìm điểm cực tiểu

Để tìm điểm cực tiểu, ta lấy đạo hàm riêng của hàm EE theo xx và yy và đặt chúng bằng 0.

∂E∂x=18x−6y+6∂E∂x=18x−6y+6

∂E∂y=10y−6x−12∂E∂y=10y−6x−12

Giải hệ phương trình:

18x−6y+6=018x−6y+6=0

10y−6x−12=010y−6x−12=0

Từ phương trình đầu tiên:

18x−6y=−6⟹3x−y=−118x−6y=−6⟹3x−y=−1

Từ phương trình thứ hai:

10y−6x=12⟹5y−3x=610y−6x=12⟹5y−3x=6

Giải hệ phương trình:

Từ phương trình 3x−y=−13x−y=−1:

y=3x+1y=3x+1

Thay vào phương trình 5y−3x=65y−3x=6:

5(3x+1)−3x=65(3x+1)−3x=6

15x+5−3x=615x+5−3x=6

12x=1⟹x=11212x=1⟹x=112

Thay vào phương trình y=3x+1y=3x+1:

y=3(112)+1=14+1=54y=3(112)+1=14+1=54

### Bước 4: Tính giá trị nhỏ nhất

Thay x=112x=112 và y=54y=54 vào hàm EE:

E=9(112)2+5(54)2−6(112⋅54)+6⋅112−12⋅54+9E=9(112)2+5(54)2−6(112⋅54)+6⋅112−12⋅54+9

Tính toán từng phần:

9(1144)=9144=1169(1144)=9144=116

5(2516)=125165(2516)=12516

6(548)=3048=586(548)=3048=58

6⋅112=612=126⋅112=612=12

12⋅54=1512⋅54=15

Thay vào công thức:

E=116+12516−58+12−15+9E=116+12516−58+12−15+9

E=1+125−10+8−240+14416E=1+125−10+8−240+14416

E=28−24016=−21216=−13.25E=28−24016=−21216=−13.25

### Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của EE là −13.25−13.25, và nó đạt được tại x=112x=112 và y=54y=54.