Để giải phương trình \(\sin x = \frac{1}{4}\), ta cần tìm tất cả các giá trị \( x \) thỏa mãn phương trình này. Chúng ta sẽ sử dụng các bước sau:

### Bước 1: Tìm nghiệm chính
Phương trình \(\sin x = \frac{1}{4}\) có nghiệm chính trong khoảng \([0, 2\pi)\) bằng cách sử dụng hàm nghịch đảo của sin, tức là \( \arcsin \).

\[ x = \arcsin \left( \frac{1}{4} \right) \]

### Bước 2: Tìm nghiệm phụ
Hàm sin có tính chất đối xứng, do đó ngoài nghiệm chính, ta còn có nghiệm phụ trong khoảng \([0, 2\pi)\):

\[ x = \pi - \arcsin \left( \frac{1}{4} \right) \]

### Bước 3: Xét nghiệm tổng quát
Hàm số sin có chu kỳ là \(2\pi\), do đó các nghiệm tổng quát của phương trình \(\sin x = \frac{1}{4}\) có thể được viết dưới dạng:

\[ x = \arcsin \left( \frac{1}{4} \right) + 2k\pi \]
\[ x = \pi - \arcsin \left( \frac{1}{4} \right) + 2k\pi \]

với \(k\) là số nguyên bất kỳ.

### Kết quả

Các nghiệm tổng quát của phương trình \(\sin x = \frac{1}{4}\) là:

\[ x = \arcsin \left( \frac{1}{4} \right) + 2k\pi \]
\[ x = \pi - \arcsin \left( \frac{1}{4} \right) + 2k\pi \]

với \( k \in \mathbb{Z} \) (tức là \( k \) là số nguyên).