Để giải phương trình \(\sin^2 x - 2 \cos x + 2 = 0\), ta thực hiện các bước sau:

1. **Biến đổi phương trình**:
Sử dụng công thức lượng giác \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), ta có:
\[\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\]

Thay \(\sin^2 x\) vào phương trình ban đầu:
\[1 - \cos^2 x - 2 \cos x + 2 = 0\]

Đơn giản hóa phương trình:
\[1 - \cos^2 x - 2 \cos x + 2 = 0\]
\[- \cos^2 x - 2 \cos x + 3 = 0\]
\[\cos^2 x + 2 \cos x - 3 = 0\]

2. **Giải phương trình bậc hai**:
Đây là phương trình bậc hai với biến \(\cos x\). Đặt \(u = \cos x\), phương trình trở thành:
\[u^2 + 2u - 3 = 0\]

Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm:
\[u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Trong đó, \(a = 1\), \(b = 2\), và \(c = -3\). Tính toán:
\[u = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1}\]
\[u = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}\]
\[u = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2}\]
\[u = \frac{-2 \pm 4}{2}\]

Có hai nghiệm:
\[u = \frac{-2 + 4}{2} = 1\]
\[u = \frac{-2 - 4}{2} = -3\]

3. **Xác định giá trị hợp lệ**:
Vì \(\cos x\) chỉ có thể nằm trong khoảng \([-1, 1]\), nên nghiệm \(u = -3\) không hợp lệ.

Nghiệm hợp lệ là \(u = 1\). Do đó:
\[\cos x = 1\]

4. **Giải phương trình \(\cos x = 1\)**:
\[\cos x = 1\] khi và chỉ khi \(x = 2k\pi\), với \(k\) là một số nguyên.

Vậy nghiệm của phương trình \(\sin^2 x - 2 \cos x + 2 = 0\) là:
\[x = 2k\pi\] (với \(k \in \mathbb{Z}\)).