Để tìm tọa độ điểm \( M \) trên đồ thị của hàm số \( y = \frac{2x - 1}{x + 1} \) sao cho tiếp tuyến tại \( M \) song song với đường thẳng \( y = 3x + 11 \), ta cần làm như sau:

**Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( y = \frac{2x - 1}{x + 1} \)**

Đạo hàm của \( y \):
\[ y' = \frac{(2x+3)(x+1) - (2x-1) \cdot 1}{(x+1)^2} \]
\[ y' = \frac{2x^2 + 5x + 3 - 2x + 1}{(x+1)^2} \]
\[ y' = \frac{2x^2 + 3x + 4}{(x+1)^2} \]

**Bước 2: Tìm điểm \( M \) sao cho tiếp tuyến tại \( M \) song song với đường thẳng \( y = 3x + 11 \)**

Tiếp tuyến tại điểm \( M \) có độ dài bằng đường thẳng \( y = 3x + 11 \), nghĩa là hệ số góc của tiếp tuyến phải bằng hệ số góc của đường thẳng, tức là:
\[ y' = 3 \]

Giải phương trình để tìm \( x \):
\[ \frac{2x^2 + 3x + 4}{(x+1)^2} = 3 \]

Nhân cả hai vế bằng \( (x+1)^2 \):
\[ 2x^2 + 3x + 4 = 3(x+1)^2 \]
\[ 2x^2 + 3x + 4 = 3(x^2 + 2x + 1) \]
\[ 2x^2 + 3x + 4 = 3x^2 + 6x + 3 \]
\[ 0 = x^2 + 3x - 1 \]

Giải phương trình bậc hai:
\[ x^2 + 3x - 1 = 0 \]

Áp dụng công thức giải phương trình bậc hai:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Trong đó \( a = 1, b = 3, c = -1 \):
\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1} \]
\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2} \]

Vậy các giá trị \( x \) là:
\[ x = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2} \quad \text{và} \quad x = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2} \]

**Bước 3: Tính tọa độ \( y \) tương ứng với từng giá trị \( x \)**

Khi \( x = \frac{-3 + \sqrt{13}}{2} \):
\[ y = \frac{2 \left( \frac{-3 + \sqrt{13}}{2} \right) - 1}{\frac{-3 + \sqrt{13}}{2} + 1} \]
\[ y = \frac{-3 + \sqrt{13} - 2}{-1 + \frac{\sqrt{13}}{2}} \]
\[ y = \frac{\sqrt{13} - 5}{\sqrt{13} - 2} \]

Khi \( x = \frac{-3 - \sqrt{13}}{2} \):
\[ y = \frac{2 \left( \frac{-3 - \sqrt{13}}{2} \right) - 1}{\frac{-3 - \sqrt{13}}{2} + 1} \]
\[ y = \frac{-3 - \sqrt{13} - 2}{-1 - \frac{\sqrt{13}}{2}} \]
\[ y = \frac{-\sqrt{13} - 5}{-\sqrt{13} - 2} \]

**Kết luận:**

Để tìm tọa độ điểm \( M \), ta có thể sử dụng một trong hai giá trị \( x \) đã tính được ở trên và tính \( y \) tương ứng. Sau đó, kiểm tra điều kiện tiếp tuyến tại \( M \) song song với đường thẳng \( y = 3x + 11 \).