Để tìm giá trị của \( a \) trong phương trình \(\tan^2 x + \cot^2 x + 2 = \frac{a}{\sin^2 2x}\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Biến đổi các hằng số trong phương trình

- **Sử dụng Định lý Pythagoras:**

\[
\tan^2 x + 1 = \sec^2 x
\]
\[
\cot^2 x + 1 = \csc^2 x
\]

Do đó:

\[
\tan^2 x = \sec^2 x - 1
\]
\[
\cot^2 x = \csc^2 x - 1
\]

- **Thay thế vào phương trình:**

\[
\tan^2 x + \cot^2 x = (\sec^2 x - 1) + (\csc^2 x - 1) = \sec^2 x + \csc^2 x - 2
\]

Phương trình trở thành:

\[
\sec^2 x + \csc^2 x - 2 + 2 = \frac{a}{\sin^2 2x}
\]

Simplify:

\[
\sec^2 x + \csc^2 x = \frac{a}{\sin^2 2x}
\]

### Bước 2: Sử dụng các đẳng thức lượng giác

- **Biểu thức \(\sec^2 x\) và \(\csc^2 x\):**

\[
\sec^2 x = 1 + \tan^2 x
\]
\[
\csc^2 x = 1 + \cot^2 x
\]

\[
\sec^2 x + \csc^2 x = 2 + \tan^2 x + \cot^2 x
\]

Theo đề bài:

\[
\sec^2 x + \csc^2 x = \frac{a}{\sin^2 2x}
\]

Chúng ta cần tính \(\sin^2 2x\):

\[
\sin 2x = 2 \sin x \cos x \implies \sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x
\]

- **Áp dụng các đẳng thức:**

\[
\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}
\]
\[
\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}
\]

\[
\sin^2 2x = 4 \left(\frac{1 - \cos 2x}{2}\right) \left(\frac{1 + \cos 2x}{2}\right) = 4 \left(\frac{1 - \cos^2 2x}{4}\right) = 1 - \cos^2 2x
\]

\[
\sin^2 2x = \sin^2 2x
\]

Do đó:

\[
\sec^2 x + \csc^2 x = \frac{a}{\sin^2 2x}
\]

\[
\sec^2 x + \csc^2 x = 2 + \tan^2 x + \cot^2 x
\]

### Bước 3: So sánh và tìm giá trị của \( a \)

- **Nhìn vào các đẳng thức, chúng ta có:**

\[
\sec^2 x + \csc^2 x = 2 + \tan^2 x + \cot^2 x
\]

\[
\frac{a}{\sin^2 2x} = \frac{a}{1 - \cos^2 2x} = 2 + \tan^2 x + \cot^2 x
\]

\[
\frac{a}{\sin^2 2x} = 4
\]

- **Do đó:**

\[
a = 4
\]

### Tóm tắt:

Giá trị của \( a \) là \( 4 \).

Để giải phương trình \( \tan^2 x + \cot^2 x + 2 = \frac{a}{\sin^2 2x} \), ta bắt đầu bằng cách đơn giản hóa các biểu thức liên quan đến \( \tan x \) và \( \cot x \).

### Bước 1: Tính \( \tan^2 x + \cot^2 x \)

Ta biết rằng:

\[
\cot x = \frac{1}{\tan x}
\]

Vì vậy:

\[
\tan^2 x + \cot^2 x = \tan^2 x + \frac{1}{\tan^2 x}
\]

Gọi \( t = \tan^2 x \), thì:

\[
t + \frac{1}{t} = \frac{t^2 + 1}{t}
\]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hoặc công thức đã biết:

\[
t + \frac{1}{t} \geq 2
\]

Với điều này, ta có:

\[
\tan^2 x + \cot^2 x \geq 2
\]

### Bước 2: Thay biểu thức vào phương trình

Vì vậy:

\[
\tan^2 x + \cot^2 x + 2 \geq 4
\]

### Bước 3: Tính \( \sin^2 2x \)

Ta có:

\[
\sin 2x = 2 \sin x \cos x \quad \Rightarrow \quad \sin^2 2x = 4 \sin^2 x \cos^2 x
\]

### Bước 4: Viết lại phương trình

Phương trình trở thành:

\[
\tan^2 x + \cot^2 x + 2 = \frac{a}{\sin^2 2x} = \frac{a}{4 \sin^2 x \cos^2 x}
\]

### Bước 5: Đặt điều kiện cho giá trị a

Ta có

\[
\tan^2 x + \cot^2 x + 2 \geq 4
\]

Điều này có nghĩa là:

\[
\frac{a}{4 \sin^2 x \cos^2 x} \geq 4
\]

### Giải

Từ trên, ta có:

\[
a \geq 16 \sin^2 x \cos^2 x
\]

Vì \( \sin^2 x \cos^2 x \) có giá trị tối đa là \( \frac{1}{4} \), khi \( \sin^2 x = \cos^2 x \), vậy:

\[
a \geq 16 \times \frac{1}{4} = 4
\]

Giá trị nhỏ nhất của \( a \) là 4, tuy nhiên để phương trình chính xác hơn, ta cần tìm giá trị \( a \) khi \( \tan^2 x + \cot^2 x = 2 \).

### Tìm giá trị cụ thể của \( a \)

Khi \( x = \frac{\pi}{4} \):
\[
\tan^2 \frac{\pi}{4} = 1 \quad \text{và} \quad \cot^2 \frac{\pi}{4} = 1
\]
Cụ thể, ta có:

\[
\tan^2 \frac{\pi}{4} + \cot^2 \frac{\pi}{4} = 1 + 1 = 2
\]

Do đó:

\[
2 + 2 = \frac{a}{\sin^2 \frac{\pi}{2}} = \frac{a}{1} \Rightarrow 4 = a
\]

### Kết luận

Giá trị \( a \) là:

\[
\boxed{4}
\]