Để phân tích hàm số \( y = \frac{x^2}{2} - 4x + 10 \), chúng ta có thể thực hiện các bước sau:

### 1. **Xác định Đỉnh Parabol**

Hàm số có dạng tổng quát là \( y = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 10 \), với \( a = \frac{1}{2} \), \( b = -4 \), và \( c = 10 \).

Đỉnh của parabol được tính bằng công thức:

\[
x_{\text{đỉnh}} = -\frac{b}{2a}
\]

Thay vào các giá trị:

\[
x_{\text{đỉnh}} = -\frac{-4}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{4}{1} = 4
\]

Tìm giá trị \( y \) tại điểm đỉnh:

\[
y_{\text{đỉnh}} = \frac{(4)^2}{2} - 4 \cdot 4 + 10
\]

Tính toán:

\[
y_{\text{đỉnh}} = \frac{16}{2} - 16 + 10
\]

\[
y_{\text{đỉnh}} = 8 - 16 + 10
\]

\[
y_{\text{đỉnh}} = 2
\]

Vậy, đỉnh của parabol là \( (4, 2) \).

### 2. **Xác định Tọa Độ Cắt Trục**

- **Cắt trục \( y \)**:

Để tìm điểm cắt trục \( y \), đặt \( x = 0 \):

\[
y = \frac{0^2}{2} - 4 \cdot 0 + 10 = 10
\]

Vậy điểm cắt trục \( y \) là \( (0, 10) \).

- **Cắt trục \( x \)**:

Để tìm điểm cắt trục \( x \), giải phương trình:

\[
\frac{x^2}{2} - 4x + 10 = 0
\]

Nhân tất cả các hạng tử với 2 để đơn giản hóa:

\[
x^2 - 8x + 20 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Với \( a = 1 \), \( b = -8 \), và \( c = 20 \):

\[
x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 20}}{2 \cdot 1}
\]

\[
x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 80}}{2}
\]

\[
x = \frac{8 \pm \sqrt{-16}}{2}
\]

\[
x = \frac{8 \pm 4i}{2}
\]

\[
x = 4 \pm 2i
\]

Vậy các nghiệm là:

\[
x_1 = 4 + 2i
\]

\[
x_2 = 4 - 2i
\]

Do đó, phương trình không cắt trục \( x \) trong không gian thực; các điểm cắt trục \( x \) là các số phức.

### 3. **Hình Dạng Parabol**

Vì hệ số \( a = \frac{1}{2} \) là dương, parabol mở lên.

### Tóm tắt

- Đỉnh của parabol là \( (4, 2) \).
- Điểm cắt trục \( y \) là \( (0, 10) \).
- Parabol không cắt trục \( x \) trong không gian thực.