Bạn đang làm việc với hàm bậc 2 \( y = -x^2 + 3x - \frac{1}{2} \). Để phân tích và hiểu rõ hơn về hàm số này, chúng ta có thể thực hiện các bước sau:

### 1. **Xác định Đỉnh Parabol**

Hàm số \( y = -x^2 + 3x - \frac{1}{2} \) có dạng tổng quát \( y = ax^2 + bx + c \), với \( a = -1 \), \( b = 3 \), và \( c = -\frac{1}{2} \).

Đỉnh của parabol có thể được tính bằng công thức:

\[
x_{\text{đỉnh}} = -\frac{b}{2a}
\]

Thay vào các giá trị:

\[
x_{\text{đỉnh}} = -\frac{3}{2 \times (-1)} = \frac{3}{2}
\]

Tìm giá trị \( y \) tại điểm đỉnh:

\[
y_{\text{đỉnh}} = -\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 3 \cdot \frac{3}{2} - \frac{1}{2}
\]

Tính toán:

\[
y_{\text{đỉnh}} = -\frac{9}{4} + \frac{9}{2} - \frac{1}{2}
\]

\[
y_{\text{đỉnh}} = -\frac{9}{4} + \frac{18}{4} - \frac{2}{4}
\]

\[
y_{\text{đỉnh}} = \frac{-9 + 18 - 2}{4} = \frac{7}{4}
\]

Vậy, đỉnh của parabol là \( \left(\frac{3}{2}, \frac{7}{4}\right) \).

### 2. **Xác định Tọa Độ Cắt Trục**

- **Cắt trục \( y \)**:

Để tìm điểm cắt trục \( y \), đặt \( x = 0 \):

\[
y = -0^2 + 3 \cdot 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}
\]

Vậy điểm cắt trục \( y \) là \( (0, -\frac{1}{2}) \).

- **Cắt trục \( x \)**:

Để tìm điểm cắt trục \( x \), giải phương trình:

\[
-x^2 + 3x - \frac{1}{2} = 0
\]

Đưa về dạng chuẩn bằng cách nhân tất cả các hạng tử với 2:

\[
-2x^2 + 6x - 1 = 0
\]

Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Với \( a = -2 \), \( b = 6 \), và \( c = -1 \):

\[
x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-1)}}{2 \cdot (-2)}
\]

\[
x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 8}}{-4}
\]

\[
x = \frac{-6 \pm \sqrt{28}}{-4}
\]

\[
x = \frac{-6 \pm 2\sqrt{7}}{-4}
\]

\[
x = \frac{3 \mp \sqrt{7}}{2}
\]

Vậy các nghiệm là:

\[
x_1 = \frac{3 - \sqrt{7}}{2}
\]

\[
x_2 = \frac{3 + \sqrt{7}}{2}
\]

### 3. **Hình Dạng Parabol**

Vì hệ số \( a = -1 \) là âm, parabol mở xuống.

### Tóm tắt

- Đỉnh của parabol là \( \left(\frac{3}{2}, \frac{7}{4}\right) \).
- Điểm cắt trục \( y \) là \( (0, -\frac{1}{2}) \).
- Điểm cắt trục \( x \) là \( \left(\frac{3 - \sqrt{7}}{2}, 0\right) \) và \( \left(\frac{3 + \sqrt{7}}{2}, 0\right) \).