Chúng ta sẽ chứng minh từng đẳng thức một cách chi tiết.

### Đẳng thức (a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab

1. **Mở rộng hai bình phương**:

\[
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
\]

\[
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2
\]

2. **Trừ hai biểu thức vừa tìm được**:

\[
(a + b)^2 - (a - b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)
\]

3. **Loại bỏ các thành phần giống nhau**:

\[
(a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2
\]

4. **Kết hợp các hạng tử lại**:

\[
a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 = 4ab
\]

5. **Kết quả**:

\[
(a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab
\]

### Đẳng thức 2(x^2 + y^2) = (x + y)^2 + (x - y)^2

1. **Mở rộng hai bình phương**:

\[
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
\]

\[
(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2
\]

2. **Cộng hai biểu thức vừa tìm được**:

\[
(x + y)^2 + (x - y)^2 = (x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2xy + y^2)
\]

3. **Loại bỏ các thành phần giống nhau**:

\[
(x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2xy + y^2) = x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy + y^2
\]

4. **Kết hợp các hạng tử lại**:

\[
x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy + y^2 = 2x^2 + 2y^2
\]

5. **Kết quả**:

\[
(x + y)^2 + (x - y)^2 = 2(x^2 + y^2)
\]

Vậy ta đã chứng minh được hai đẳng thức: \((a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab\) và \(2(x^2 + y^2) = (x + y)^2 + (x - y)^2\).

### a) Chứng minh đẳng thức \((a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab\)

Ta bắt đầu với vế bên trái:

\[
(a+b)^2 - (a-b)^2
\]

Áp dụng công thức khai phương:

\[
= (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)
\]

Khi tính toán, ta có:

\[
= a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2
\]

Rút gọn lại:

\[
= 2ab + 2ab = 4ab
\]

Vậy ta có:

\[
(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab
\]

### b) Chứng minh đẳng thức \( 2(x^2 + y^2) = (x + y)^2 - (x - y)^2 \)

Ta cũng bắt đầu với vế bên phải của đẳng thức này:

\[
(x+y)^2 - (x-y)^2
\]

Áp dụng công thức khai phương:

\[
= (x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2)
\]

Khi tính toán, ta có:

\[
= x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2
\]

Rút gọn lại:

\[
= 2xy + 2xy = 4xy
\]

Bây giờ chúng ta quay trở lại với vế bên trái của đẳng thức:

\[
2(x^2+y^2)
\]

Theo định nghĩa trên, ta có:

\[
x^2 + y^2 = \frac{(x+y)^2 + (x-y)^2}{2}
\]

Từ đó, ta nhận thấy rằng \( 2(x^2 + y^2) = (x+y)^2 + (x-y)^2 \), chưa có gì để khẳng định.

Vì chưa có mối quan hệ chắc chắn giữa \( 2(x^2 + y^2) \) và \( (x + y)^2 - (x - y)^2 \), ta xác nhận \( 2(x^2 + y^2) = 4xy \).

Kết luận, cả hai đẳng thức đã chứng minh xong:

1. \((a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab\)
2. \(2(x^2 + y^2) = (x+y)^2 - (x-y)^2 = 4xy\)