Để tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M = \frac{1}{ab + a + 2} + \frac{1}{bc + b + 2} + \frac{1}{ca + c + 2} \) với điều kiện \( abc = 1 \) và \( a, b, c > 0 \), ta sẽ sử dụng phương pháp bất đẳng thức.

### 1. **Áp dụng bất đẳng thức AM-GM**

Ta sẽ sử dụng bất đẳng thức AM-GM để tìm giá trị nhỏ nhất của từng mẫu số trong biểu thức \( M \).

#### Đối với mẫu số \( ab + a + 2 \):

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

\[
ab + a + 2 \geq 3 \sqrt[3]{ab \cdot a \cdot 2}
\]

Do \( a \cdot b \cdot c = 1 \), ta có \( ab \cdot a \cdot 2 = a^2b \cdot 2 \), và do đó:

\[
ab + a + 2 \geq 3 \sqrt[3]{2a^2b}
\]

Tương tự, ta có thể áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các mẫu số khác:

\[
bc + b + 2 \geq 3 \sqrt[3]{2b^2c}
\]

\[
ca + c + 2 \geq 3 \sqrt[3]{2c^2a}
\]

### 2. **Tìm giá trị cụ thể cho \( a = b = c \)**

Để đơn giản hóa, ta thử các giá trị cụ thể cho \( a = b = c \). Theo điều kiện \( abc = 1 \), ta có \( a = b = c = 1 \).

Thay vào biểu thức \( M \):

\[
M = \frac{1}{1 \cdot 1 + 1 + 2} + \frac{1}{1 \cdot 1 + 1 + 2} + \frac{1}{1 \cdot 1 + 1 + 2}
\]

\[
M = \frac{1}{1 + 1 + 2} + \frac{1}{1 + 1 + 2} + \frac{1}{1 + 1 + 2}
\]

\[
M = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}
\]

\[
M = \frac{3}{4}
\]

### 3. **Kiểm tra tính tối ưu**

Ta cần chứng minh rằng giá trị này là giá trị nhỏ nhất có thể đạt được.

Theo bất đẳng thức AM-GM, mỗi mẫu số trong biểu thức \( M \) được giảm thiểu xuống giá trị nhỏ nhất khi các tham số bằng nhau. Khi \( a = b = c = 1 \), các mẫu số đều đạt giá trị tối ưu.

### Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M \) là \( \frac{3}{4} \), đạt được khi \( a = b = c = 1 \).

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M \):

\[ M = \frac{1}{ab + a + 2} + \frac{1}{bc + b + 2} + \frac{1}{ca + c + 2} \]

với \( a, b, c > 0 \) và \( abc = 1 \), chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức AM-GM để đánh giá các thành phần của biểu thức này.

### Bước 1: Sử dụng Bất đẳng thức AM-GM

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho mỗi biểu thức trong mẫu số:

\[ ab + a + 2 \geq 4\sqrt[4]{ab \cdot a \cdot 2 \cdot 1} = 4\sqrt[4]{a^2b \cdot 2} = 4\sqrt[4]{2a^2b} \]

Tương tự:

\[ bc + b + 2 \geq 4\sqrt[4]{b^2c \cdot 2} = 4\sqrt[4]{2b^2c} \]
\[ ca + c + 2 \geq 4\sqrt[4]{c^2a \cdot 2} = 4\sqrt[4]{2c^2a} \]

Tuy nhiên, để đơn giản hóa, ta sẽ xem xét \( ab + a + 2 \) theo cách khác.

### Bước 2: Biến đổi để đơn giản hóa biểu thức

Do \( abc = 1 \), ta có thể viết lại \( a, b, c \) như sau:

\[ a = \frac{x}{y}, \, b = \frac{y}{z}, \, c = \frac{z}{x} \]

với \( x, y, z > 0 \). Sau đó, biểu thức \( M \) trở thành:

\[ M = \frac{1}{\frac{xy}{z^2} + \frac{x}{z} + 2} + \frac{1}{\frac{yz}{x^2} + \frac{y}{x} + 2} + \frac{1}{\frac{zx}{y^2} + \frac{z}{y} + 2} \]

### Bước 3: Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[ \left( \frac{1}{ab + a + 2} + \frac{1}{bc + b + 2} + \frac{1}{ca + c + 2} \right) \left( (ab + a + 2) + (bc + b + 2) + (ca + c + 2) \right) \geq (1+1+1)^2 = 9 \]

Do đó, ta có:

\[ M \geq \frac{9}{(ab + a + 2) + (bc + b + 2) + (ca + c + 2)} \]

### Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất

Để đạt được giá trị nhỏ nhất của \( M \), chúng ta cần tìm các giá trị của \( a, b, c \) sao cho:

\[ ab + a + 2 + bc + b + 2 + ca + c + 2 \]

là nhỏ nhất. Sử dụng \( a = b = c = 1 \) (vì \( abc = 1 \)):

\[ M = \frac{1}{1 \cdot 1 + 1 + 2} + \frac{1}{1 \cdot 1 + 1 + 2} + \frac{1}{1 \cdot 1 + 1 + 2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \]

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( M \) là:

\[ M_{\min} = \frac{3}{4} \]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[
M = \frac{1}{ab + a + 2} + \frac{1}{bc + b + 2} + \frac{1}{ca + c + 2}
\]

với điều kiện \( abc = 1 \) và \( a, b, c > 0 \), ta sẽ sử dụng một số bất đẳng thức.

Đầu tiên, chúng ta có thể sử dụng sự thay thế \( a = \frac{x}{y}, b = \frac{y}{z}, c = \frac{z}{x} \), rồi từ đó lên biểu thức của \( M \):

- Khi ấy \( ab = \frac{x}{y} \cdot \frac{y}{z} = \frac{x}{z} \), \( bc = \frac{y}{z} \cdot \frac{z}{x} = \frac{y}{x} \), và \( ca = \frac{z}{x} \cdot \frac{x}{y} = \frac{z}{y} \).

Tuy nhiên, một cách đơn giản hơn là sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc tương đương với bất đẳng thức AM-GM.

### Sử dụng bất đẳng thức AM-GM:

Ta biết rằng \( ab + a + 2 \) có thể được liên hệ với AM-GM như sau:

\[
ab + a + 2 \geq 3 \sqrt[3]{ab \cdot a \cdot 2} = 3 \sqrt[3]{2a^2b}
\]

Tương tự cho các phần khác trong \( M \):

\[
bc + b + 2 \geq 3 \sqrt[3]{2b^2c}, \quad ca + c + 2 \geq 3 \sqrt[3]{2c^2a}
\]

Từ đó ta có:

\[
M \leq \frac{1}{3 \sqrt[3]{2a^2b}} + \frac{1}{3 \sqrt[3]{2b^2c}} + \frac{1}{3 \sqrt[3]{2c^2a}}
\]

### Sử dụng điều kiện \( abc = 1 \):

Dựa trên điều kiện \( abc = 1 \), ta cũng có thể áp dụng một phương pháp khác mà không cần đưa ra biểu thức rất phức tạp. Cụ thể, để tìm giá trị cực tiểu, ta có thể thử với \( a = b = c = 1 \):

Khi \( a = b = c = 1 \):
\[
M = \frac{1}{1 \cdot 1 + 1 + 2} + \frac{1}{1 \cdot 1 + 1 + 2} + \frac{1}{1 \cdot 1 + 1 + 2} = 3 \cdot \frac{1}{1 + 1 + 2} = 3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
\]

### Kiểm tra xem \( M \geq \frac{3}{4} \):

Ta muốn chứng minh rằng không có cách nào khác cho \( M \) nhỏ hơn \( \frac{3}{4} \).

Bằng việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các thành phần của \( M \):

\[
(ab + a + 2)(1 + 1 + 1) \geq (1 + 1 + 1)^2 = 9 \implies ab + a + 2 \geq 3
\]

Do đó,

\[
M \geq \frac{3}{ab + a + 2} \geq \frac{3}{3} = 1
\]

Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của \( M \) là \( \frac{3}{4} \) khi \( a = b = c = 1 \).

### Kết luận:

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M \) là:

\[
\boxed{\frac{3}{4}}
\]

và đạt được khi \( a = b = c = 1 \).