Để giải các bài toán phân thức đại số, chúng ta cần đơn giản hóa các biểu thức. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết:

### A. Đơn giản hóa biểu thức:

\[ \frac{9x^2 - y^2}{x + y} : \frac{3x + y}{2x + 2y} \]

**1. Đơn giản hóa phân thức đầu tiên:**

- **Phân thức đầu tiên:**

\[
\frac{9x^2 - y^2}{x + y}
\]

Nhận thấy rằng \( 9x^2 - y^2 \) là một biểu thức theo dạng hiệu hai bình phương. Sử dụng hằng đẳng thức:

\[
9x^2 - y^2 = (3x)^2 - y^2 = (3x - y)(3x + y)
\]

Vậy:

\[
\frac{9x^2 - y^2}{x + y} = \frac{(3x - y)(3x + y)}{x + y}
\]

Khi chia:

\[
\frac{(3x - y)(3x + y)}{x + y} = (3x - y) \text{ (vì } x + y \text{ không phải là yếu tố của tử số)}
\]

**2. Đơn giản hóa phân thức thứ hai:**

- **Phân thức thứ hai:**

\[
\frac{3x + y}{2x + 2y}
\]

Ta có thể rút gọn bằng cách chia cả tử số và mẫu số cho 2:

\[
\frac{3x + y}{2(x + y)} = \frac{3x + y}{2(x + y)}
\]

**3. Thực hiện phép chia:**

Khi chia hai phân thức, ta nhân phân thức đầu tiên với phân thức nghịch đảo của phân thức thứ hai:

\[
(3x - y) \div \frac{3x + y}{2(x + y)} = (3x - y) \times \frac{2(x + y)}{3x + y}
\]

Nhân và đơn giản hóa:

\[
\frac{2(3x - y)(x + y)}{3x + y}
\]

### B. Đơn giản hóa biểu thức:

\[ \frac{9 - x^2}{x} : (x - 3) \]

**1. Đơn giản hóa phân thức đầu tiên:**

- **Phân thức đầu tiên:**

\[
\frac{9 - x^2}{x}
\]

Nhận thấy rằng \( 9 - x^2 \) là một biểu thức theo dạng hiệu hai bình phương. Sử dụng hằng đẳng thức:

\[
9 - x^2 = 3^2 - x^2 = (3 - x)(3 + x)
\]

Vậy:

\[
\frac{9 - x^2}{x} = \frac{(3 - x)(3 + x)}{x}
\]

**2. Thực hiện phép chia:**

Khi chia hai phân thức, ta nhân phân thức đầu tiên với phân thức nghịch đảo của phân thức thứ hai:

\[
\frac{(3 - x)(3 + x)}{x} \div (x - 3)
\]

Thay:

\[
\frac{(3 - x)(3 + x)}{x} \times \frac{1}{x - 3}
\]

Lưu ý rằng \( (3 - x) = - (x - 3) \), nên:

\[
\frac{-(x - 3)(3 + x)}{x} \times \frac{1}{x - 3}
\]

Rút gọn:

\[
\frac{-(3 + x)}{x} = - \frac{3 + x}{x}
\]

### Kết quả cuối cùng:

- **A.** \( \frac{2(3x - y)(x + y)}{3x + y} \)

- **B.** \( -\frac{3 + x}{x} \)

Để giải các bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần một.

### A: \(\frac{9x^2 - y^2}{x + y} : \frac{3x + y}{2x + 2y}\)

1. \(\frac{9x^2 - y^2}{x + y}\)
- Ta nhận thấy rằng \(9x^2 - y^2\) có thể được viết lại dưới dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \(9x^2 - y^2 = (3x)^2 - y^2 = (3x - y)(3x + y)\).
- Vậy \(\frac{9x^2 - y^2}{x + y} = \frac{(3x - y)(3x + y)}{x + y}\).
- Khi \(x + y \neq 0\), ta có thể rút gọn \(x + y\):
\[
\frac{(3x - y)(3x + y)}{x + y} = 3x - y.
\]

2. \(\frac{3x + y}{2x + 2y}\)
- Ta có thể rút gọn phân số này:
\[
\frac{3x + y}{2x + 2y} = \frac{3x + y}{2(x + y)}.
\]

Kết hợp lại:
\[
\frac{9x^2 - y^2}{x + y} : \frac{3x + y}{2x + 2y} = \frac{3x - y}{\frac{3x + y}{2(x + y)}} = (3x - y) \times \frac{2(x + y)}{3x + y} = \frac{2(3x - y)(x + y)}{3x + y}
\]

Nếu 3x + y không bằng 0, ta tiếp tục đơn giản hóa:
\[
= 2(3x - y)
\]
Do đó, biểu thức A đơn giản thành \(2(3x - y)\).

### B: \(\frac{9 - x^2}{x} : (x - 3)\)

1. \(\frac{9 - x^2}{x}\)
- Ta nhận thấy rằng \(9 - x^2\) có thể được viết lại dưới dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \(9 - x^2 = (3)^2 - x^2 = (3 - x)(3 + x)\).
- Vậy \(\frac{9 - x^2}{x} = \frac{(3 - x)(3 + x)}{x}\).

2. \((x - 3)\)

Kết hợp lại:
\[
\frac{9 - x^2}{x} : (x - 3) = \frac{(3 - x)(3 + x)}{x} : (x - 3) = \frac{(3 - x)(3 + x)}{x(x - 3)}
\]

Khi \(x \neq 3\) và \(x \neq -3\), ta có thể rút gọn \(x - 3\):
\[
= \frac{3 + x}{x}
\]

Do đó, biểu thức B đơn giản thành \(\frac{3 + x}{x}\).

### C: \(\frac{4}{x + 2} + \frac{2}{x - 2} + \frac{5x - 6}{4 - x^2}\)

1. \(\frac{4}{x + 2}\)

2. \(\frac{2}{x - 2}\)

3. \(\frac{5x - 6}{4 - x^2}\)
- Ta nhận thấy rằng \(4 - x^2\) có thể được viết lại dưới dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \(4 - x^2 = (2)^2 - x^2 = (2 - x)(2 + x) = -(x - 2)(x + 2)\).
- Vậy \(\frac{5x - 6}{4 - x^2} = \frac{5x - 6}{-(x - 2)(x + 2)} = -\frac{5x - 6}{(x - 2)(x + 2)}\).

Kết hợp lại:
\[
\frac{4}{x + 2} + \frac{2}{x - 2} - \frac{5x - 6}{(x - 2)(x + 2)}
\]

Để có cùng mẫu số, mẫu chung sẽ là \((x + 2)(x - 2)\):
\[
\frac{4(x - 2) + 2(x + 2) - (5x - 6)}{(x + 2)(x - 2)}
\]
\[
= \frac{4x - 8 + 2x + 4 - 5x + 6}{(x + 2)(x - 2)}
\]
\[
= \frac{4x + 2x - 5x - 8 + 4 + 6}{(x + 2)(x - 2)}
\]
\[
= \frac{x + 2}{(x + 2)(x - 2)}
\]
\[
= \frac{1}{x - 2}
\]

Do đó, biểu thức C đơn giản thành \(\frac{1}{x - 2}\).

### D: \(\left( \frac{2}{x - 2} - \frac{2}{x + 2} \right) \times \frac{x^2 + 4x + 4}{8}\)

1. \(\frac{2}{x - 2} - \frac{2}{x + 2}\)
- Ta tìm mẫu số chung là \((x - 2)(x + 2)\):
\[
\frac{2(x + 2) - 2(x - 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{2x + 4 - 2x + 4}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{8}{(x - 2)(x + 2)}
\]

2. \(\frac{x^2 + 4x + 4}{8}\)
- Ta nhận thấy rằng \(x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2\).
- Vậy \(\frac{x^2 + 4x + 4}{8} = \frac{(x + 2)^2}{8}\).

Kết hợp lại:
\[
\left( \frac{8}{(x - 2)(x + 2)} \right) \times \frac{(x + 2)^2}{8}
\]

Rút gọn \(8\):
\[
= \frac{1}{(x - 2)} \times (x + 2)
\]

Do đó, biểu thức D đơn giản thành \(\frac{x + 2}{x - 2}\).

### Tổng kết:

A: \(2(3x - y)\)

B: \(\frac{3 + x}{x}\)

C: \(\frac{1}{x - 2}\)

D: \(\frac{x + 2}{x - 2}\)