Để tìm giá trị của \( x \) trong phương trình \( 5 \cdot \left(\frac{1}{3} + x\right)^3 = \frac{99}{4} \cdot 0.\overline{27} \), ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Chuyển số thập phân tuần hoàn thành phân số

Số thập phân tuần hoàn \( 0.\overline{27} \) có thể được chuyển thành phân số. Đặt \( y = 0.\overline{27} \):

\[
y = 0.272727\ldots
\]

Nhân cả hai bên với 100:

\[
100y = 27.272727\ldots
\]

Trừ đi \( y \) từ cả hai bên:

\[
100y - y = 27.272727\ldots - 0.272727\ldots
\]

\[
99y = 27
\]

\[
y = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}
\]

Do đó:

\[
0.\overline{27} = \frac{3}{11}
\]

### Bước 2: Thay thế vào phương trình

Thay giá trị \( 0.\overline{27} \) vào phương trình:

\[
5 \cdot \left(\frac{1}{3} + x\right)^3 = \frac{99}{4} \cdot \frac{3}{11}
\]

### Bước 3: Tinh toán biểu thức bên phải

Tính:

\[
\frac{99}{4} \cdot \frac{3}{11} = \frac{99 \cdot 3}{4 \cdot 11} = \frac{297}{44}
\]

Rút gọn phân số:

\[
\frac{297}{44} = \frac{99}{22} = \frac{9}{2}
\]

### Bước 4: Giải phương trình

Phương trình trở thành:

\[
5 \cdot \left(\frac{1}{3} + x\right)^3 = \frac{9}{2}
\]

Chia cả hai bên cho 5:

\[
\left(\frac{1}{3} + x\right)^3 = \frac{9}{2 \cdot 5} = \frac{9}{10}
\]

Lấy căn bậc ba của cả hai bên để giải cho \( \frac{1}{3} + x \):

\[
\frac{1}{3} + x = \sqrt[3]{\frac{9}{10}}
\]

Để tính \( \sqrt[3]{\frac{9}{10}} \):

\[
\sqrt[3]{\frac{9}{10}} = \frac{\sqrt[3]{9}}{\sqrt[3]{10}} = \frac{3^{2/3}}{10^{1/3}}
\]

Khoảng giá trị:

\[
\sqrt[3]{\frac{9}{10}} \approx 0.965
\]

Sau đó, tính \( x \):

\[
x = \sqrt[3]{\frac{9}{10}} - \frac{1}{3}
\]

Khoảng giá trị:

\[
x \approx 0.965 - 0.333 = 0.632
\]

### Kết luận

Giá trị của \( x \) là khoảng \( \frac{3^{2/3}}{10^{1/3}} - \frac{1}{3} \) hoặc khoảng \( 0.632 \).

Để giải phương trình

\[
5 \cdot \left( \frac{1}{3} + x \right)^3 = \frac{99}{4 \cdot 0.27},
\]

ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### Bước 1: Tính giá trị bên phải

Trước hết, ta cần tính giá trị của \(\frac{99}{4 \cdot 0.27}\).

Biết rằng \(0,27 = \frac{27}{100}\), do đó:

\[
4 \cdot 0.27 = 4 \cdot \frac{27}{100} = \frac{108}{100} = \frac{27}{25}.
\]

Vậy,

\[
\frac{99}{4 \cdot 0.27} = \frac{99}{\frac{27}{25}} = 99 \cdot \frac{25}{27} = \frac{99 \cdot 25}{27}.
\]

Tiếp tục tính \(99 \cdot 25\):

\[
99 \cdot 25 = 2475.
\]

Do đó,

\[
\frac{99}{4 \cdot 0.27} = \frac{2475}{27}.
\]

### Bước 2: Giải phương trình

Ta có phương trình:

\[
5 \cdot \left( \frac{1}{3} + x \right)^3 = \frac{2475}{27}.
\]

Chia cả hai vế cho \(5\):

\[
\left( \frac{1}{3} + x \right)^3 = \frac{2475}{135} \quad (\text{vì } 27 \cdot 5 = 135).
\]

### Bước 3: Rút gọn phân số

Tiến hành rút gọn phân số:

\[
\frac{2475}{135} = \frac{2475 \div 15}{135 \div 15} = \frac{165}{9}.
\]

Tiếp tục rút gọn:

\[
\frac{165 \div 3}{9 \div 3} = \frac{55}{3}.
\]

Vậy phương trình trở thành:

\[
\left( \frac{1}{3} + x \right)^3 = \frac{55}{3}.
\]

### Bước 4: Lấy căn bậc ba hai vế

Lấy căn bậc ba hai vế:

\[
\frac{1}{3} + x = \sqrt[3]{\frac{55}{3}}.
\]

### Bước 5: Tính giá trị của \( \sqrt[3]{\frac{55}{3}} \)

Để tính giá trị này, ta biểu diễn:

\[
x = \sqrt[3]{\frac{55}{3}} - \frac{1}{3}.
\]

### Kết luận

Do đó, kết quả cuối cùng là:

\[
x = \sqrt[3]{\frac{55}{3}} - \frac{1}{3}.
\]

Nếu bạn muốn biết giá trị số cụ thể, bạn có thể nhập vào máy tính để tính toán giá trị của \( \sqrt[3]{\frac{55}{3}} \) và trừ \( \frac{1}{3} \) ra.