Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;3} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 2; - 2;4} \right)\], \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {10; - 2;4} \right)\)

a) Mặt phẳng (ABC) nhận \(\overrightarrow n = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {5; - 1;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến và đi qua điểm A(1; 0; −1) có phương trình là:

5(x – 1) – y + 2(z + 1) = 0 hay 5x – y + 2z – 3 = 0.

b) Đường thẳng AC đi qua điểm A(1; 0; −1) và nhận \[\overrightarrow u = - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} = \left( {1;1; - 2} \right)\] làm một vectơ chỉ phương có phương trình là: \(x = \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = t\\z = - 1 - 2t\end{array} \right.\).

c) Gọi I là trung điểm của AC. Khi đó I(0; −1; 1).

Bán kính mặt cầu \(R = \frac{{AC}}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {4^2}} }}{2} = \sqrt 6 \).

Phương trình mặt cầu đường kính AC là: x² + (y + 1)² + (z – 1)² = 6.