Để tính giá trị của biểu thức \( A = \sin^2 10^\circ + \sin^2 20^\circ + \sin^2 30^\circ + \cdots + \sin^2 180^\circ \), chúng ta sử dụng một số tính chất về hàm lượng giác và các công thức liên quan.

### 1. Công thức biến đổi cho \(\sin^2 \theta\)

Chúng ta sử dụng công thức lượng giác:
\[
\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}
\]

Áp dụng công thức này cho từng thành phần của biểu thức:
\[
\sin^2 10^\circ = \frac{1 - \cos 20^\circ}{2}
\]
\[
\sin^2 20^\circ = \frac{1 - \cos 40^\circ}{2}
\]
\[
\sin^2 30^\circ = \frac{1 - \cos 60^\circ}{2}
\]
\[
\vdots
\]
\[
\sin^2 180^\circ = \frac{1 - \cos 360^\circ}{2}
\]

### 2. Tổng hợp biểu thức

Tổng hợp biểu thức \( A \):
\[
A = \sum_{k=1}^{18} \sin^2 (10k^\circ)
\]

Sử dụng công thức \(\sin^2 \theta\):
\[
A = \sum_{k=1}^{18} \frac{1 - \cos (20k^\circ)}{2}
\]
\[
A = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{18} (1 - \cos (20k^\circ))
\]
\[
A = \frac{1}{2} \left[\sum_{k=1}^{18} 1 - \sum_{k=1}^{18} \cos (20k^\circ) \right]
\]

### 3. Tính tổng \(\sum_{k=1}^{18} 1\)

Số lượng các hạng tử là 18:
\[
\sum_{k=1}^{18} 1 = 18
\]

### 4. Tính tổng \(\sum_{k=1}^{18} \cos (20k^\circ)\)

Tổng của \(\cos\) với các góc đều cách đều nhau (tổng các \(\cos\) theo một vòng tròn đầy đủ) là 0:
\[
\sum_{k=1}^{18} \cos (20k^\circ) = 0
\]

### 5. Tính giá trị của \(A\)

Thay các kết quả vào biểu thức tổng hợp:
\[
A = \frac{1}{2} \left[18 - 0 \right]
\]
\[
A = \frac{18}{2}
\]
\[
A = 9
\]

### Kết luận

Giá trị của biểu thức \( A = \sin^2 10^\circ + \sin^2 20^\circ + \sin^2 30^\circ + \cdots + \sin^2 180^\circ \) là \( \boxed{9} \).

Để tính giá trị biểu thức

\[
A = \sin^2 10^\circ + \sin^2 20^\circ + \ldots + \sin^2 180^\circ,
\]

ta có thể sử dụng một số tính chất của hàm sin.

### Chú ý về các giá trị hàm sin

Ta biết rằng:

\[
\sin(180^\circ - x) = \sin x.
\]

Vì vậy:

\[
\sin^2(180^\circ - x) = \sin^2 x.
\]

### Nhóm các số hạng

Biểu thức \( A \) có thể được phân nhóm như sau:

- \( \sin^2 10^\circ + \sin^2 170^\circ \)
- \( \sin^2 20^\circ + \sin^2 160^\circ \)
- \( \sin^2 30^\circ + \sin^2 150^\circ \)
- \( \sin^2 40^\circ + \sin^2 140^\circ \)
- \( \sin^2 50^\circ + \sin^2 130^\circ \)
- \( \sin^2 60^\circ + \sin^2 120^\circ \)
- \( \sin^2 70^\circ + \sin^2 110^\circ \)
- \( \sin^2 80^\circ + \sin^2 90^\circ \)

### Tính giá trị từng nhóm

Rõ ràng, ta có:

\[
\sin^2 10^\circ + \sin^2 170^\circ = \sin^2 10^\circ + \sin^2 10^\circ = 2\sin^2 10^\circ,
\]
\[
\sin^2 20^\circ + \sin^2 160^\circ = \sin^2 20^\circ + \sin^2 20^\circ = 2\sin^2 20^\circ,
\]
\[
\ldots,
\]
\[
\sin^2 80^\circ + \sin^2 100^\circ = \sin^2 80^\circ + \sin^2 80^\circ = 2\sin^2 80^\circ.
\]

Còn \( \sin^2 90^\circ = 1 \).

### Tổng hợp lại

Vậy ta có:

\[
A = 2(\sin^2 10^\circ + \sin^2 20^\circ + \sin^2 30^\circ + \sin^2 40^\circ + \sin^2 50^\circ + \sin^2 60^\circ + \sin^2 70^\circ + \sin^2 80^\circ) + 1.
\]

### Tính tổng các giá trị sin

Biểu thức cần tính là:

\[
\sin^2 10^\circ + \sin^2 20^\circ + \sin^2 30^\circ + \sin^2 40^\circ + \sin^2 50^\circ + \sin^2 60^\circ + \sin^2 70^\circ + \sin^2 80^\circ.
\]

Theo tính chất đối xứng, ta có thể sử dụng công thức tổng quát để tính tổng các giá trị này:

\[
\sum_{k=1}^{n} \sin^2 \left( \frac{k \cdot \pi}{180} \right) = \frac{n}{2},
\]

với \( n \) là số lượng các khía cạnh. Ở đây \( n = 18 \).

### Tính

Dùng biểu thức trên, ta có:

\[
\sin^2 10^\circ + \sin^2 20^\circ + \ldots + \sin^2 180^\circ = \frac{18}{2} = 9.
\]

Do đó,

\[
A = 2 \cdot 9 + 1 = 18 + 1 = 19.
\]

### Kết luận

Giá trị của biểu thức \( A \) là:

\[
\boxed{19}.
\]