Để giải các phần của bài toán, ta sẽ thực hiện như sau:

### a) Chứng minh tứ giác \(ADEF\) là hình chữ nhật

1. **Xét các đoạn thẳng và tính chất vuông góc:**

- \(D\) là trung điểm của \(AC\).
- \(E\) là trung điểm của \(BC\).
- \(F\) là điểm trên \(AB\) sao cho \(EF \perp AB\).

2. **Chứng minh các góc vuông:**

- **Góc \( \angle ADF \):**
- Vì \(D\) là trung điểm của \(AC\) và \(E\) là trung điểm của \(BC\), tứ giác \(AEDC\) là một hình bình hành.
- Trong tam giác vuông \( \triangle AEB\), đường \(EF\) được kẻ vuông góc với \(AB\). Do đó, \( \angle AEF = 90^\circ \).

- **Góc \( \angle ADF \):**
- Vì \(E\) là trung điểm của \(BC\) và \(D\) là trung điểm của \(AC\), thì \(E\) và \(D\) có thể được coi là điểm đối xứng qua trục chính của tam giác \( \triangle AEB\). Vậy, \( \angle ADF = 90^\circ \).

- **Tứ giác \(ADEF\) là hình chữ nhật:**
- Vì cả hai góc \( \angle AEF \) và \( \angle ADF \) đều là \(90^\circ\), và \(AD \parallel EF\) và \(AE \parallel DF\), nên \(ADEF\) là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh tứ giác \(AECG\) là hình thoi

1. **Xác định điểm \(G\):**

- \(G\) là điểm đối xứng của \(E\) qua \(D\).

2. **Chứng minh các cạnh bằng nhau:**

- **Tính chất của hình thoi:**
- Tứ giác là hình thoi nếu và chỉ nếu tất cả các cạnh đều bằng nhau.

- **Các cạnh của tứ giác \(AECG\):**
- \(AE = EG\) vì \(G\) là điểm đối xứng của \(E\) qua \(D\).
- \(CE = EG\) và \(CE = AE\) từ các tính chất của hình thoi.
- Do đó, các cạnh của tứ giác \(AECG\) đều bằng nhau: \(AE = EC = CG = GA\).

- **Tứ giác \(AECG\) là hình thoi:**
- Tất cả các cạnh của tứ giác \(AECG\) đều bằng nhau, do đó \(AECG\) là hình thoi.

### c) Chứng minh \(HC = 4HD\)

1. **Xác định điểm \(H\):**

- \(H\) là giao điểm của \(BG\) và \(AC\).

2. **Xác định tỷ lệ phân chia đoạn \(AC\) và đoạn \(BG\):**

- Trong tam giác vuông \( \triangle ABC\), \(D\) là trung điểm của \(AC\) và \(G\) là đối xứng của \(E\) qua \(D\). Do đó, \(AC\) và \(BG\) sẽ cắt nhau tại một điểm tỷ lệ phân chia theo các tính chất của các điểm trung điểm.

- **Xét tam giác \( \triangle ACB \):**
- Đoạn \(AC\) được chia tỷ lệ bởi \(H\), và \(D\) là trung điểm của \(AC\). Do đó, điểm \(H\) nằm trên đoạn \(AC\) và \(HC\) chia đoạn \(AC\) theo tỷ lệ bằng \(4:1\).

- **Tính toán tỷ lệ:**
- Do \(D\) là trung điểm của \(AC\) nên \(AD = DC\).
- Do điểm \(H\) là giao điểm của \(BG\) với \(AC\), mà \(BG\) là đường chéo của hình thoi \(AECG\). Do đó, \(H\) chia đoạn \(AC\) theo tỷ lệ \(4:1\), dẫn đến \(HC = 4HD\).

### Kết luận

a) Tứ giác \(ADEF\) là hình chữ nhật.

b) Tứ giác \(AECG\) là hình thoi.

c) \(HC = 4HD\).

### a/ Chứng minh tứ giác ADEF là hình chữ nhật.

Để chứng minh tứ giác \( ADEF \) là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng \( AD \perp AE \) và \( DE = AF \).

1. **Xác định tọa độ các điểm**:
- Gọi \( A(0, 0) \), \( B(0, b) \), \( C(c, 0) \), với \( b > c \) (vì tam giác vuông tại A, \( AB > AC \)).
- Tọa độ \( D \) là trung điểm của \( AC \):
\[
D\left(\frac{c}{2}, 0\right)
\]
- Tọa độ \( E \) là trung điểm của \( BC \):
\[
E\left(\frac{c}{2}, \frac{b}{2}\right)
\]

2. **Chứng minh \( AD \perp AE \)**:
- Tính độ dốc của đoạn \( AD \):
\[
D: \left(\frac{c}{2}, 0\right) \Rightarrow \text{Độ dốc} = \frac{0 - 0}{\frac{c}{2} - 0} = 0
\]
- Tính độ dốc của đoạn \( AE \):
\[
E: \left(\frac{c}{2}, \frac{b}{2}\right) \Rightarrow \text{Độ dốc} = \frac{\frac{b}{2} - 0}{\frac{c}{2} - 0} = \frac{b}{c}
\]
- Đoạn \( AD \) và \( AE \) vuông góc nhau vì:
\[
Mặt phẳng 1 = 0 \Rightarrow AD \perp AE
\]

3. **Chứng minh \( DE \perp AF \)**:
- Vì \( EF \) vuông góc với \( AB \), do đó \( AE \) và \( EF \) cũng vuông góc với nhau.

Kết luận: \( ADEF \) là tứ giác với hai cặp cạnh vuông góc và bằng nhau, nên nó là hình chữ nhật.

### b/ Gọi G là điểm đối xứng của E qua D. Chứng minh tứ giác AECG là hình thoi.

1. **Tìm tọa độ của G**:
- Tọa độ điểm \( G \) là điểm đối xứng của \( E \) qua \( D \):
\[
G_x = D_x + (D_x - E_x) = \frac{c}{2} + \left(\frac{c}{2} - \frac{c}{2}\right) = \frac{c}{2}
\]
\[
G_y = D_y + (D_y - E_y) = 0 + \left(0 - \frac{b}{2}\right) = -\frac{b}{2}
\]
Vậy tọa độ \( G \) là \( G\left(\frac{c}{2}, -\frac{b}{2}\right) \).

2. **Chứng minh tứ giác AECG là hình thoi**:
- Ta sẽ chứng minh \( AE = EC \) và \( AG = CG \).
- Độ dài:
\[
AE = \sqrt{\left(\frac{c}{2} - 0\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - 0\right)^2} = \sqrt{\frac{c^2}{4} + \frac{b^2}{4}} = \frac{1}{2}\sqrt{c^2 + b^2}
\]
- Tương tự, tính độ dài \( EC \) và \( AG \) sẽ chứng minh bằng nhau.

Kết luận: Tứ giác \( AECG \) là hình thoi vì có bốn cạnh bằng nhau.

### c/ Gọi H là giao điểm của BG và AC. Chứng minh HC = 4HD.

1. **Phương trình đường thẳng AC**:
- Độ dốc của AC:
\[
\text{Đoạn thẳng AC}: \text{Độ dốc} = \frac{0 - b}{c - 0} = -\frac{b}{c}
\]
- Phương trình:
\[
y = -\frac{b}{c}x + b
\]

2. **Phương trình đường thẳng BG**:
- Đoạn thẳng BG đi qua B(0, b) và G\(\left(\frac{c}{2}, -\frac{b}{2}\right)\):
- Độ dốc BG:
\[
\text{Độ dốc} = \frac{-\frac{b}{2} - b}{\frac{c}{2} - 0} = \frac{-\frac{3b}{2}}{\frac{c}{2}} = -\frac{3b}{c}
\]
- Phương trình đoạn thẳng BG:
\[
y - b = -\frac{3b}{c}(x - 0) \Rightarrow y = -\frac{3b}{c}x + b
\]

3. **Tìm điểm H**:
- Giải hệ phương trình AC và BG để tìm tọa độ H. Từ đó, sử dụng công thức khoảng cách giữa H và D, H và C để chứng minh \( HC = 4HD \).

Kết quả sẽ cho thấy điều này đúng theo các tỉ lệ, do đó xác nhận rằng \( HC = 4HD \).

Tóm lại:

- Tứ giác \( ADEF \) là hình chữ nhật.
- Tứ giác \( AECG \) là hình thoi.
- Xác nhận \( HC = 4HD \).