Để tính giá trị của biểu thức

\[
b = \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}{\frac{a^2 - 3bc}{a^2 + 2bc} + \frac{b^2 - 3ca}{b^2 + 2ca} + \frac{c^2 - 3ab}{c^2 + 2ab}}
\]

trong đó \(a\), \(b\), và \(c\) là các số thực khác 0 và đôi một khác nhau, ta cần phân tích từng phần của biểu thức.

### Phân tích biểu thức

1. **Tính giá trị của biểu thức trong mẫu số:**

Cần tính

\[
\frac{a^2 - 3bc}{a^2 + 2bc} + \frac{b^2 - 3ca}{b^2 + 2ca} + \frac{c^2 - 3ab}{c^2 + 2ab}
\]

Để thực hiện phân tích, ta có thể nhận thấy rằng các biểu thức trong mẫu số có cấu trúc tương tự nhau, và biểu thức này có thể được tổng hợp lại.

Trong thực tế, bạn sẽ thấy rằng nếu \(a\), \(b\), và \(c\) là các số thực khác nhau, tổng của các biểu thức dạng này có thể khá phức tạp để tính toán trực tiếp. Nhưng nếu bạn thử cho các giá trị cụ thể cho \(a\), \(b\), và \(c\), chẳng hạn như \(a = 1\), \(b = 2\), và \(c = 3\), bạn có thể tính toán trực tiếp.

2. **Thử nghiệm với các giá trị cụ thể:**

Giả sử chúng ta chọn \(a = 1\), \(b = 2\), và \(c = 3\).

Tính từng phần mẫu số:

- Tính \(\frac{a^2 - 3bc}{a^2 + 2bc}\):
\[
\frac{1^2 - 3 \cdot 2 \cdot 3}{1^2 + 2 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{1 - 18}{1 + 12} = \frac{-17}{13}
\]

- Tính \(\frac{b^2 - 3ca}{b^2 + 2ca}\):
\[
\frac{2^2 - 3 \cdot 3 \cdot 1}{2^2 + 2 \cdot 3 \cdot 1} = \frac{4 - 9}{4 + 6} = \frac{-5}{10} = -\frac{1}{2}
\]

- Tính \(\frac{c^2 - 3ab}{c^2 + 2ab}\):
\[
\frac{3^2 - 3 \cdot 1 \cdot 2}{3^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2} = \frac{9 - 6}{9 + 4} = \frac{3}{13}
\]

Cộng các phần lại:
\[
\frac{-17}{13} - \frac{1}{2} + \frac{3}{13}
\]

Chuyển đổi về cùng mẫu số và tính toán:

\[
\frac{-17 + 3}{13} - \frac{1}{2} = \frac{-14}{13} - \frac{1}{2}
\]

Đưa về cùng mẫu số:

\[
\frac{-14}{13} - \frac{13}{26} = \frac{-28 - 13}{26} = \frac{-41}{26}
\]

Vì vậy, mẫu số trong biểu thức ban đầu bằng \(-\frac{41}{26}\), và mẫu số của biểu thức chính là \(\frac{-\frac{41}{26}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}\).

Với giá trị mẫu số đơn giản, bạn có thể tính b. Tuy nhiên, nếu biểu thức này có một kết quả không phải là hằng số đơn giản, bạn sẽ phải sử dụng công thức chính xác hoặc phần mềm tính toán để làm việc với các giá trị tổng quát.

### Kết luận

Từ các bước phân tích và thử nghiệm, ta thấy rằng việc tính giá trị chính xác của biểu thức có thể yêu cầu các giá trị cụ thể hoặc phần mềm tính toán, vì vậy trong trường hợp tổng quát, bạn cần làm việc với các công thức cụ thể hơn hoặc thử nghiệm các giá trị cụ thể.

Để giải quyết bài toán này, ta cần tính giá trị của biểu thức:

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}
\]

và sau đó, tìm \( b \) trong biểu thức:

\[
b = \frac{a^2 - 3bc}{a^2 + 2bc + b^2 - 3ca}
\]

### Bước 1: Tính giá trị của \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \)

Biểu thức này có thể được viết lại như sau:

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{bc + ac + ab}{abc}
\]

### Bước 2: Rút gọn biểu thức \( b \)

Ta sẽ bắt đầu bằng cách biện luận theo \( b \):

\[
b = \frac{a^2 - 3bc}{a^2 + 2bc + b^2 - 3ca}
\]

Để làm việc với biểu thức này, ta có thể nhân chéo:

\[
b(a^2 + 2bc + b^2 - 3ca) = a^2 - 3bc
\]

Rút gọn và nhóm lại các phần tử:

\[
ba^2 + 2b^2c + b^3 - 3abc = a^2 - 3bc
\]

### Bước 3: Sắp xếp lại các biến

Khi ta đặt ra một hệ phương trình động dạng như vậy, ta có thể thấy rằng:

\[
ba^2 + 2b^2c + b^3 + 3bc = a^2 + 3abc
\]

### Bước 4: Tìm giá trị của \( b \)

Giá trị của \( b \) phụ thuộc vào giá trị của các biến \( a \), \( b \), và \( c \). Để có một giá trị cụ thể, ta sẽ cần thêm thông tin về \( a \), \( b \), và \( c \) (các số thực khác 0 và khác nhau):

Từ đó, chúng ta có thể rút ra rằng không có cách cụ thể để giải trong dạng tổng quát như vậy mà không biết rõ thêm về các giá trị cụ thể của \( a \), \( b \), và \( c \).

Một cách tiếp cận là cho các giá trị cụ thể cho \( a \), \( b \), và \( c \) sau đó giải phương trình để tìm \( b \).