Để chứng minh rằng biểu thức \( A = (x - y)(y - z)(z - x) \) luôn chia hết cho 12 với \( x, y, z \) là các số chính phương, ta sẽ sử dụng các tính chất của số chính phương và tính chất chia hết của các số nguyên.

### Bước 1: Tính chất của số chính phương

Giả sử \( x = a^2 \), \( y = b^2 \), và \( z = c^2 \), trong đó \( a, b, c \) là các số nguyên. Chúng ta cần chứng minh rằng:
\[
A = (x - y)(y - z)(z - x)
\]
luôn chia hết cho 12.

### Bước 2: Phân tích thành nhân tử và xét tính chia hết

Để chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 12, ta cần chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 3 và 4. Vì \( 12 = 3 \times 4 \), nên ta sẽ kiểm tra từng điều kiện chia hết này.

#### 1. **Chia hết cho 3**

- **Số chính phương mod 3**:
- Nếu một số \( n \) chia hết cho 3, thì \( n = 3k \).
- Các số chính phương modulo 3 có thể là 0 hoặc 1, vì:
\[
n^2 \equiv 0 \pmod{3} \text{ nếu } n \equiv 0 \pmod{3}
\]
\[
n^2 \equiv 1 \pmod{3} \text{ nếu } n \equiv 1 \text{ hoặc } 2 \pmod{3}
\]

- Vậy, mỗi số chính phương mod 3 có thể là 0 hoặc 1. Điều này có nghĩa là, trong ba số chính phương \( x, y, z \), ít nhất hai số phải cho kết quả khác nhau modulo 3 (hoặc là 0 và 1, hoặc hai số khác 1 và 1). Do đó:
- Số khác nhau giữa các số chính phương modulo 3 ít nhất có một số khác 0, và số khác 0 hoặc 1.

- **Nhóm ba số khác nhau modulo 3**:
- Trong ba số chính phương, ít nhất hai trong số chúng phải có giá trị khác nhau modulo 3, do đó, \( (x - y) \), \( (y - z) \), và \( (z - x) \) sẽ có ít nhất một trong số chúng chia hết cho 3.

- Vì thế, \( A \) chia hết cho 3.

#### 2. **Chia hết cho 4**

- **Số chính phương mod 4**:
- Nếu một số \( n \) chia hết cho 2, thì \( n = 2k \).
- Các số chính phương modulo 4 có thể là 0 hoặc 1, vì:
\[
n^2 \equiv 0 \pmod{4} \text{ nếu } n \equiv 0 \pmod{2}
\]
\[
n^2 \equiv 1 \pmod{4} \text{ nếu } n \equiv 1 \text{ hoặc } 3 \pmod{4}
\]

- Vậy, mỗi số chính phương mod 4 có thể là 0 hoặc 1. Trong ba số chính phương \( x, y, z \):
- Có ít nhất hai số có giá trị khác nhau modulo 4, do đó, \( (x - y) \), \( (y - z) \), và \( (z - x) \) sẽ có ít nhất một trong số chúng chia hết cho 2 (vì phải có số chẵn và số lẻ).

- Với ít nhất một trong số ba hiệu \( (x - y) \), \( (y - z) \), và \( (z - x) \) chia hết cho 2, và hai số khác nhau trong ba số chính phương sẽ có hiệu chia hết cho 4.

### Kết luận

Do đó, \( A = (x - y)(y - z)(z - x) \) luôn chia hết cho 3 và 4. Vì vậy, \( A \) luôn chia hết cho 12.