Để giải tam giác \( ABC \) với các thông số đã cho, chúng ta sẽ sử dụng định lý cosine và các tính chất của tam giác. Dưới đây là các bước để tính toán các góc và cạnh còn lại của tam giác \( ABC \), cũng như chứng minh định lý \( a = b \cos C + c \cos B \).

### 1. **Tính Cạnh Còn Lại \( BC \)**

Chúng ta sẽ sử dụng định lý cosine để tính cạnh \( BC \). Định lý cosine nói rằng:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A
\]

Trong đó:
- \( AB = 4 \)
- \( AC = 6 \)
- \( \angle A = 120^\circ \)
- \( \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} \)

Thay các giá trị vào công thức:

\[
BC^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)
\]
\[
BC^2 = 16 + 36 + 24
\]
\[
BC^2 = 76
\]
\[
BC = \sqrt{76} = 2\sqrt{19}
\]

### 2. **Tính Các Góc Còn Lại**

#### Tính góc \( B \)

Sử dụng định lý cosine cho góc \( B \):

\[
\cos B = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC}
\]
Thay các giá trị vào công thức:

\[
\cos B = \frac{6^2 + (2\sqrt{19})^2 - 4^2}{2 \cdot 6 \cdot 2\sqrt{19}}
\]
\[
\cos B = \frac{36 + 76 - 16}{24\sqrt{19}}
\]
\[
\cos B = \frac{96}{24\sqrt{19}}
\]
\[
\cos B = \frac{4}{\sqrt{19}}
\]
\[
B = \cos^{-1}\left(\frac{4}{\sqrt{19}}\right)
\]

#### Tính góc \( C \)

Sử dụng định lý cosine cho góc \( C \):

\[
\cos C = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC}
\]
Thay các giá trị vào công thức:

\[
\cos C = \frac{4^2 + (2\sqrt{19})^2 - 6^2}{2 \cdot 4 \cdot 2\sqrt{19}}
\]
\[
\cos C = \frac{16 + 76 - 36}{16\sqrt{19}}
\]
\[
\cos C = \frac{56}{16\sqrt{19}}
\]
\[
\cos C = \frac{7}{2\sqrt{19}}
\]
\[
C = \cos^{-1}\left(\frac{7}{2\sqrt{19}}\right)
\]

### 3. **Chứng Minh Định Lý**

Chúng ta cần chứng minh rằng \( a = b \cos C + c \cos B \).

Đặt:
- \( a = BC = 2\sqrt{19} \)
- \( b = AC = 6 \)
- \( c = AB = 4 \)

Chúng ta đã tính được:
- \( \cos B = \frac{4}{\sqrt{19}} \)
- \( \cos C = \frac{7}{2\sqrt{19}} \)

Tính \( b \cos C + c \cos B \):

\[
b \cos C = 6 \times \frac{7}{2\sqrt{19}} = \frac{42}{2\sqrt{19}} = \frac{21}{\sqrt{19}}
\]
\[
c \cos B = 4 \times \frac{4}{\sqrt{19}} = \frac{16}{\sqrt{19}}
\]
\[
b \cos C + c \cos B = \frac{21}{\sqrt{19}} + \frac{16}{\sqrt{19}} = \frac{37}{\sqrt{19}}
\]

Tính \( a \):

\[
a = 2\sqrt{19}
\]
\[
a = \frac{37}{\sqrt{19}}
\]

Vậy:
\[
a = b \cos C + c \cos B
\]

### Tóm Tắt Kết Quả:

- Cạnh còn lại \( BC = 2\sqrt{19} \)
- Góc \( B = \cos^{-1}\left(\frac{4}{\sqrt{19}}\right) \)
- Góc \( C = \cos^{-1}\left(\frac{7}{2\sqrt{19}}\right) \)
- Đã chứng minh định lý \( a = b \cos C + c \cos B \).

### Giải Tam Giác ABC

Cho tam giác \( ABC \) với các cạnh \( AB = c = 4 \), \( AC = b = 6 \), và góc \( A = 120^\circ \). Ta cần tìm các góc còn lại \( B \) và \( C \) cũng như cạnh \( BC = a \).

#### 1. Tìm cạnh \( BC \) (cạnh \( a \))

Sử dụng định lý cosin:

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \]

Thay các giá trị vào:

\[ a^2 = 6^2 + 4^2 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \cos 120^\circ \]

Vì \( \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} \):

\[ a^2 = 36 + 16 - 2 \cdot 6 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \]
\[ a^2 = 36 + 16 + 24 \]
\[ a^2 = 76 \]
\[ a = \sqrt{76} = 2\sqrt{19} \]

#### 2. Tìm góc \( B \)

Sử dụng định lý cosin để tìm \( \cos B \):

\[ \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \]

Thay các giá trị vào:

\[ \cos B = \frac{(2\sqrt{19})^2 + 4^2 - 6^2}{2 \cdot 2\sqrt{19} \cdot 4} \]
\[ \cos B = \frac{76 + 16 - 36}{16\sqrt{19}} \]
\[ \cos B = \frac{56}{16\sqrt{19}} \]
\[ \cos B = \frac{7}{2\sqrt{19}} \]

Sử dụng máy tính để tìm góc \( B \):

\[ B \approx \cos^{-1} \left(\frac{7}{2\sqrt{19}}\right) \]

#### 3. Tìm góc \( C \)

Sử dụng định lý cosin để tìm \( \cos C \):

\[ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \]

Thay các giá trị vào:

\[ \cos C = \frac{(2\sqrt{19})^2 + 6^2 - 4^2}{2 \cdot 2\sqrt{19} \cdot 6} \]
\[ \cos C = \frac{76 + 36 - 16}{24\sqrt{19}} \]
\[ \cos C = \frac{96}{24\sqrt{19}} \]
\[ \cos C = \frac{4}{\sqrt{19}} \]

Sử dụng máy tính để tìm góc \( C \):

\[ C \approx \cos^{-1} \left(\frac{4}{\sqrt{19}}\right) \]

### Chứng Minh \( a = b \cos C + c \cos B \)

Từ định lý cosin ta có:

\[ \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \]
\[ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \]

Thay vào công thức:

\[ b \cos C + c \cos B = b \left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right) + c \left(\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\right) \]
\[ = \frac{b(a^2 + b^2 - c^2)}{2ab} + \frac{c(a^2 + c^2 - b^2)}{2ac} \]
\[ = \frac{a^2b + b^3 - b c^2}{2ab} + \frac{a^2c + c^3 - c b^2}{2ac} \]
\[ = \frac{a^2}{2a} + \frac{b^3}{2ab} - \frac{b c^2}{2ab} + \frac{a^2}{2a} + \frac{c^3}{2ac} - \frac{c b^2}{2ac} \]
\[ = \frac{a^2}{2a} + \frac{a^2}{2a} = a \]

Vậy \( a = b \cos C + c \cos B \) đã được chứng minh.