Để tìm nghiệm nguyên dương của phương trình \( 3x^2 + xy + 2y^5 = 35362 \), ta sẽ thử một số giá trị của \( y \) và tính giá trị tương ứng của \( x \) để kiểm tra tính nguyên của nó.

**Bước 1: Thử các giá trị của \( y \)**

### Khi \( y = 1 \):
\[
2y^5 = 2 \cdot 1^5 = 2
\]
\[
3x^2 + xy + 2 = 35362 \implies 3x^2 + x + 2 = 35362 \implies 3x^2 + x = 35360
\]
Đây là phương trình bậc hai với \( x \) là ẩn:
\[
3x^2 + x - 35360 = 0
\]
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
với \( a = 3 \), \( b = 1 \), và \( c = -35360 \):
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-35360) = 1 + 424320 = 424321
\]
\[
\sqrt{424321} = 651
\]
Vì \( \sqrt{424321} \) là số nguyên, ta tiếp tục tính nghiệm:
\[
x = \frac{-1 \pm 651}{6}
\]
\[
x = \frac{650}{6} \text{ (không phải số nguyên)} \text{ hoặc } x = \frac{-652}{6} \text{ (không phải số nguyên)}
\]
Vậy không có nghiệm nguyên dương cho \( x \) khi \( y = 1 \).

### Khi \( y = 2 \):
\[
2y^5 = 2 \cdot 2^5 = 2 \cdot 32 = 64
\]
\[
3x^2 + xy + 64 = 35362 \implies 3x^2 + 2x + 64 = 35362 \implies 3x^2 + 2x = 35298
\]
\[
3x^2 + 2x - 35298 = 0
\]
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
\Delta = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-35298) = 4 + 423576 = 423580
\]
\[
\sqrt{423580} \approx 651.38 \text{ (không phải số nguyên)}
\]
Vậy không có nghiệm nguyên dương cho \( x \) khi \( y = 2 \).

### Khi \( y = 3 \):
\[
2y^5 = 2 \cdot 3^5 = 2 \cdot 243 = 486
\]
\[
3x^2 + xy + 486 = 35362 \implies 3x^2 + 3x + 486 = 35362 \implies 3x^2 + 3x = 34876
\]
\[
3x^2 + 3x - 34876 = 0
\]
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
\Delta = 3^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-34876) = 9 + 418512 = 418521
\]
\[
\sqrt{418521} \approx 646 \text{ (số nguyên)}
\]
Tính nghiệm:
\[
x = \frac{-3 \pm 646}{6}
\]
\[
x = \frac{643}{6} = 107.1667 \text{ (không phải số nguyên)} \text{ hoặc } x = \frac{-649}{6} \text{ (không phải số nguyên)}
\]
Vậy không có nghiệm nguyên dương cho \( x \) khi \( y = 3 \).

### Khi \( y = 4 \):
\[
2y^5 = 2 \cdot 4^5 = 2 \cdot 1024 = 2048
\]
\[
3x^2 + xy + 2048 = 35362 \implies 3x^2 + 4x + 2048 = 35362 \implies 3x^2 + 4x = 33314
\]
\[
3x^2 + 4x - 33314 = 0
\]
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
\Delta = 4^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-33314) = 16 + 399768 = 399784
\]
\[
\sqrt{399784} = 633 \text{ (số nguyên)}
\]
Tính nghiệm:
\[
x = \frac{-4 \pm 633}{6}
\]
\[
x = \frac{629}{6} = 104.8333 \text{ (không phải số nguyên)} \text{ hoặc } x = \frac{-637}{6} \text{ (không phải số nguyên)}
\]
Vậy không có nghiệm nguyên dương cho \( x \) khi \( y = 4 \).

### Khi \( y = 5 \):
\[
2y^5 = 2 \cdot 5^5 = 2 \cdot 3125 = 6250
\]
\[
3x^2 + xy + 6250 = 35362 \implies 3x^2 + 5x + 6250 = 35362 \implies 3x^2 + 5x = 29112
\]
\[
3x^2 + 5x - 29112 = 0
\]
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
\Delta = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-29112) = 25 + 349344 = 349369
\]
\[
\sqrt{349369} = 591 \text{ (số nguyên)}
\]
Tính nghiệm:
\[
x = \frac{-5 \pm 591}{6}
\]
\[
x = \frac{586}{6} = 97.6667 \text{ (không phải số nguyên)} \text{ hoặc } x = \frac{-596}{6} \text{ (không phải số nguyên)}
\]
Vậy không có nghiệm nguyên dương cho \( x \) khi \( y = 5 \).

Tóm lại, ta không tìm thấy nghiệm nguyên dương cho \( x \) và \( y \) trong các trường hợp thử nghiệm. Do đó, phương trình \( 3x^2 + xy + 2y^5 = 35362 \) có thể không có nghiệm nguyên dương.