Quảng cáo
2 câu trả lời 80
Để tìm giá trị \( m \) sao cho hàm số \( y = x^3 - (m+1)x^2 + 3(7m-3)x \) có 2 điểm cực trị với \( x_1^2 + x_2^2 = 3 \), ta thực hiện các bước sau:
### 1. Tính đạo hàm của hàm số
Đạo hàm của hàm số sẽ cho chúng ta các điểm cực trị:
\[ y = x^3 - (m+1)x^2 + 3(7m-3)x \]
\[ y' = 3x^2 - 2(m+1)x + 3(7m-3) \]
### 2. Giải phương trình đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị
\[ 3x^2 - 2(m+1)x + 3(7m-3) = 0 \]
Đây là một phương trình bậc 2 có dạng \( ax^2 + bx + c = 0 \), với:
- \( a = 3 \)
- \( b = -2(m+1) \)
- \( c = 3(7m-3) \)
### 3. Tính tổng và tích của các nghiệm
Các nghiệm của phương trình bậc 2, \( x_1 \) và \( x_2 \), thoả mãn:
- Tổng của các nghiệm:
\[ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{2(m+1)}{3} \]
- Tích của các nghiệm:
\[ x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3(7m-3)}{3} = 7m - 3 \]
### 4. Sử dụng điều kiện \( x_1^2 + x_2^2 = 3 \)
Ta có:
\[ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \]
Thay các giá trị vào điều kiện:
\[ x_1^2 + x_2^2 = \left(\frac{2(m+1)}{3}\right)^2 - 2(7m - 3) \]
\[ 3 = \frac{4(m+1)^2}{9} - 2(7m - 3) \]
### 5. Giải phương trình để tìm \( m \)
\[ 3 = \frac{4(m+1)^2}{9} - 14m + 6 \]
Nhân cả hai vế với 9 để loại bỏ mẫu số:
\[ 27 = 4(m+1)^2 - 126m + 54 \]
\[ 27 = 4(m^2 + 2m + 1) - 126m + 54 \]
\[ 27 = 4m^2 + 8m + 4 - 126m + 54 \]
\[ 27 = 4m^2 - 118m + 58 \]
\[ 4m^2 - 118m + 31 = 0 \]
Giải phương trình bậc 2 này:
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2:
\[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Với \( a = 4 \), \( b = -118 \), và \( c = 31 \):
\[ m = \frac{118 \pm \sqrt{118^2 - 4 \cdot 4 \cdot 31}}{2 \cdot 4} \]
\[ m = \frac{118 \pm \sqrt{13924 - 496}}{8} \]
\[ m = \frac{118 \pm \sqrt{13428}}{8} \]
\[ m = \frac{118 \pm 116}{8} \]
Do đó:
\[ m = \frac{234}{8} = 29.25 \]
\[ m = \frac{2}{8} = 0.25 \]
### Kết luận:
Các giá trị của \( m \) sao cho hàm số có 2 điểm cực trị với \( x_1^2 + x_2^2 = 3 \) là \( m = 29.25 \) và \( m = 0.25 \).
Để hàm số \( y = x^3 - (m+1)x^2 + 3(7m-3)x \) có 2 điểm cực trị, ta cần tìm điều kiện về m để giá trị của đạo hàm bậc nhất của hàm số này có 2 nghiệm phân biệt.
Bước 1: Tính đạo hàm \( y' \)
\[
y' = 3x^2 - 2(m+1)x + 3(7m - 3)
\]
Bước 2: Để hàm này có 2 điểm cực trị, bất phương trình cần thảo mãn là:
\[
\Delta = b^2 - 4ac > 0
\]
Với \( a = 3 \), \( b = -2(m + 1) \), \( c = 3(7m - 3) \).
Tính bình phương và các hệ số:
\[
\Delta = [-2(m + 1)]^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3(7m - 3) > 0
\]
\[
= 4(m + 1)^2 - 36(7m - 3) > 0
\]
\[
= 4(m^2 + 2m + 1) - 252m + 108 > 0
\]
\[
= 4m^2 - 250m + 112 > 0
\]
Bước 3: Giải bất phương trình bậc 2 này bằng cách tính \(\Delta\):
\[
\Delta' = (-250)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 112
\]
\[
= 62500 - 1792 = 60708
\]
Rễ của phương trình trên:
\[
m_{1,2} = \frac{250 \pm \sqrt{60708}}{8}
\]
Bước 4: Kiểm tra các dấu của phương trình:
Hai nghiệm sẽ được cho bởi phương trình \( 4m^2 - 250m + 112 = 0 \) và ta cần xác định miền \( m \) để bất phương trình dương.
Bước 5: Giải hệ phương trình về điều kiện tổng \( x_1^2 + x_2^2 = 3 \):
Sử dụng công thức cho tổng bình phương của nghiệm:
\[
x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2
\]
Trong trường hợp này:
- \(x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{2(m+1)}{3}\)
- \(x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3(7m - 3)}{3} = 7m - 3\)
Từ đó ta có:
\[
x_1^2 + x_2^2 = \left(\frac{2(m+1)}{3}\right)^2 - 2(7m - 3) = 3
\]
Giải bất phương trình:
\[
\frac{4(m+1)^2}{9} - 14m + 6 = 3
\]
Rút gọn và giải, từ đó tìm được giá trị của \( m \) mà hàm số có hai cực trị thỏa mãn điều kiện \( x_1^2 + x_2^2 = 3 \).
Trên đây là các bước để giải bài toán; bạn vui lòng hoàn thiện các phép tính cụ thể để tìm ra giá trị của \( m \).
Quảng cáo