Để tìm các số nguyên \(x\) và \(y\) thỏa mãn phương trình \(y^2 + 2xy - 3x - 2 = 0\), ta có thể thực hiện các bước sau:

### 1. Biến đổi phương trình

Phương trình có dạng:
\[
y^2 + 2xy - 3x - 2 = 0
\]

Ta có thể biến đổi phương trình này để tìm các giá trị của \(x\) và \(y\). Một cách để giải là thử thay giá trị của \(x\) vào phương trình và giải phương trình bậc hai đối với \(y\).

### 2. Xét phương trình theo \(y\)

Để phương trình trở thành một phương trình bậc hai đối với \(y\), ta có thể viết lại như sau:
\[
y^2 + 2xy - 3x - 2 = 0
\]

Xét phương trình bậc hai với \(y\):
\[
y^2 + 2xy - 3x - 2 = 0
\]

Phương trình này có dạng \(ay^2 + by + c = 0\) với \(a = 1\), \(b = 2x\), và \(c = -3x - 2\). Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong đó:
\[
b = 2x
\]
\[
c = -3x - 2
\]

Tính \(\Delta\), tức là biệt thức của phương trình:
\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]
\[
\Delta = (2x)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3x - 2)
\]
\[
\Delta = 4x^2 + 12x + 8
\]
\[
\Delta = 4(x^2 + 3x + 2)
\]
\[
\Delta = 4(x + 1)(x + 2)
\]

Để phương trình bậc hai có nghiệm nguyên, \(\Delta\) phải là số chính phương. Do đó:
\[
4(x + 1)(x + 2) = k^2
\]

Với \(k\) là một số nguyên.

### 3. Tìm nghiệm cụ thể

Thử các giá trị của \(x\) để \(\Delta\) là số chính phương:

**Thử \(x = 0\):**
\[
\Delta = 4 \cdot (0 + 1) \cdot (0 + 2) = 8 \text{ (không phải số chính phương)}
\]

**Thử \(x = -1\):**
\[
\Delta = 4 \cdot (-1 + 1) \cdot (-1 + 2) = 4 \cdot 0 \cdot 1 = 0
\]
\[
y = \frac{-2(-1) \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1
\]
Khi \(x = -1\), \(y = 1\).

**Thử \(x = -2\):**
\[
\Delta = 4 \cdot (-2 + 1) \cdot (-2 + 2) = 4 \cdot (-1) \cdot 0 = 0
\]
\[
y = \frac{-2(-2) \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2
\]
Khi \(x = -2\), \(y = 2\).

**Kiểm tra lại các giá trị \(x\):**

- Với \(x = -1\) và \(y = 1\):
\[
y^2 + 2xy - 3x - 2 = 1^2 + 2(-1)(1) - 3(-1) - 2 = 1 - 2 + 3 - 2 = 0
\]
Thoả mãn.

- Với \(x = -2\) và \(y = 2\):
\[
y^2 + 2xy - 3x - 2 = 2^2 + 2(-2)(2) - 3(-2) - 2 = 4 - 8 + 6 - 2 = 0
\]
Thoả mãn.

### Kết luận

Các giá trị nguyên \((x, y)\) thỏa mãn phương trình là:

\[
(x, y) = (-1, 1) \text{ và } (-2, 2)
\]