Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hàm số \( y = 5x - x^2 \) và \( y = x^2 - x \) cùng hai đường thẳng \( x = 0 \) và \( x = 2 \), chúng ta thực hiện các bước sau:

### 1. Tìm điểm giao của hai hàm số

Để tìm các điểm giao của hai hàm số \( y = 5x - x^2 \) và \( y = x^2 - x \), chúng ta giải phương trình:
\[ 5x - x^2 = x^2 - x \]

Chuyển tất cả về một phía:
\[ 5x - x^2 - x^2 + x = 0 \]
\[ 6x - 2x^2 = 0 \]
\[ 2x(3 - x) = 0 \]

Từ đó, ta có hai nghiệm:
\[ x = 0 \]
\[ x = 3 \]

### 2. Xác định khoảng giao nhau trong khoảng từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \)

Điểm \( x = 3 \) không nằm trong khoảng từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \), do đó chỉ có điểm giao tại \( x = 0 \) nằm trong khoảng này. Chúng ta cần kiểm tra giá trị của hai hàm số tại các điểm \( x = 0 \) và \( x = 2 \) để xác định hàm số nào nằm trên hàm số nào trong khoảng này.

### 3. Tính toán giá trị của các hàm số tại \( x = 0 \) và \( x = 2 \)

- Tại \( x = 0 \):
\[ y = 5 \cdot 0 - 0^2 = 0 \]
\[ y = 0^2 - 0 = 0 \]

- Tại \( x = 2 \):
\[ y = 5 \cdot 2 - 2^2 = 10 - 4 = 6 \]
\[ y = 2^2 - 2 = 4 - 2 = 2 \]

Như vậy, tại \( x = 2 \):
- \( y = 5x - x^2 \) (tức \( y = 6 \)) lớn hơn \( y = x^2 - x \) (tức \( y = 2 \)).

Do đó, hàm số \( y = 5x - x^2 \) nằm trên hàm số \( y = x^2 - x \) trong khoảng từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \).

### 4. Tính diện tích

Diện tích hình phẳng giữa hai hàm số trong khoảng từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \) được tính bằng tích phân của hiệu số giữa hai hàm số:
\[ \text{Diện tích} = \int_{0}^{2} \left[(5x - x^2) - (x^2 - x)\right] \, dx \]

Đơn giản hóa biểu thức trong dấu tích phân:
\[ (5x - x^2) - (x^2 - x) = 5x - x^2 - x^2 + x = 6x - 2x^2 \]

Vậy diện tích là:
\[ \text{Diện tích} = \int_{0}^{2} (6x - 2x^2) \, dx \]

Tính tích phân:
\[ \int_{0}^{2} 6x \, dx - \int_{0}^{2} 2x^2 \, dx \]

Tính từng tích phân:
\[ \int_{0}^{2} 6x \, dx = 6 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = 6 \left( \frac{4}{2} - 0 \right) = 6 \cdot 2 = 12 \]
\[ \int_{0}^{2} 2x^2 \, dx = 2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = 2 \left( \frac{8}{3} - 0 \right) = \frac{16}{3} \]

Do đó:
\[ \text{Diện tích} = 12 - \frac{16}{3} = \frac{36}{3} - \frac{16}{3} = \frac{20}{3} \]

### Kết luận

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các hàm số và đường thẳng đã cho là \(\frac{20}{3}\) đơn vị diện tích.