Để tìm giá trị của \( m \) mà hàm số \( y = -2x^2 + 3mx^2 + 1 \) đạt giá trị lớn nhất tại \( x = 1 \) trên đoạn \([-2; 2]\), chúng ta cần xác định điều kiện cho hàm số đạt giá trị cực đại tại \( x = 1 \).

### 1. Xác định hàm số và dạng chuẩn

Hàm số \( y = -2x^2 + 3mx^2 + 1 \) có thể viết lại theo dạng chuẩn của hàm bậc hai:

\[ y = (-2 + 3m)x^2 + 1 \]

Đặt \( a = -2 + 3m \), ta có:

\[ y = ax^2 + 1 \]

### 2. Điều kiện để đạt giá trị lớn nhất tại \( x = 1 \)

Hàm bậc hai \( y = ax^2 + 1 \) có dạng parabol mở lên nếu \( a > 0 \) và mở xuống nếu \( a < 0 \). Để hàm số có giá trị lớn nhất tại \( x = 1 \) (nghĩa là điểm \( x = 1 \) là đỉnh của parabol trong khoảng \([-2, 2]\)), chúng ta cần hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \( x = 1 \).

Hàm số này có dạng \( y = ax^2 + 1 \). Khi \( a < 0 \), hàm số sẽ mở xuống và do đó giá trị cực đại của nó sẽ xảy ra tại \( x = 1 \) nếu \( x = 1 \) nằm trong khoảng [-2, 2].

### 3. Tính giá trị hàm số tại \( x = 1 \)

Tính giá trị hàm số tại \( x = 1 \):

\[ y(1) = a(1)^2 + 1 = a + 1 \]

### 4. Điều kiện về \( a \)

Để hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \( x = 1 \), giá trị của hàm số tại \( x = 1 \) phải lớn hơn hoặc bằng giá trị của hàm số tại các điểm biên của đoạn \([-2, 2]\), tức là tại \( x = -2 \) và \( x = 2 \).

Tính giá trị hàm số tại \( x = -2 \) và \( x = 2 \):

- Tại \( x = -2 \):

\[ y(-2) = a(-2)^2 + 1 = 4a + 1 \]

- Tại \( x = 2 \):

\[ y(2) = a(2)^2 + 1 = 4a + 1 \]

### 5. So sánh giá trị tại các điểm

Để giá trị tại \( x = 1 \) lớn hơn hoặc bằng giá trị tại các điểm biên, chúng ta có:

\[ a + 1 \geq 4a + 1 \]

Giải bất phương trình:

\[ a + 1 \geq 4a + 1 \]

\[ a \geq 0 \]

Như vậy, hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \( x = 1 \) khi và chỉ khi \( a < 0 \). Thay thế \( a = -2 + 3m \) vào điều kiện này:

\[ -2 + 3m < 0 \]

\[ 3m < 2 \]

\[ m < \frac{2}{3} \]

Trong các lựa chọn đưa ra, không có lựa chọn nào chính xác là \( m < \frac{2}{3} \), nhưng từ các lựa chọn gần nhất, điều kiện \( m < 0 \) là lựa chọn phù hợp nhất cho giá trị cần thiết để hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \( x = 1 \).

### Kết luận

Câu trả lời đúng là **D. m < 0**.

Để giải quyết hai câu hỏi này, chúng ta cần tìm giá trị của tham số ( m ) để hàm số đạt giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) tại ( x = 1 ).

Câu 1:
Hàm số ( y = -2x^2 + 3mx^2 + 1 ) đạt GTLN tại ( x = 1 ) khi và chỉ khi:

Đạo hàm của hàm số tại ( x = 1 ) bằng 0.
Đạo hàm bậc hai tại ( x = 1 ) phải nhỏ hơn 0 (để đảm bảo đó là điểm cực đại).
Đạo hàm của hàm số là: [ y’ = (-2 + 3m) \cdot 2x ]

Tại ( x = 1 ): [ y’(1) = 2(-2 + 3m) = 0 ] [ -2 + 3m = 0 ] [ 3m = 2 ] [ m = \frac{2}{3} ]

Vậy đáp án đúng là không có trong các lựa chọn đã cho. Có thể có lỗi trong đề bài hoặc cần kiểm tra lại các lựa chọn.

Câu 2:
Hàm số ( y = x^3 - 3mx^2 + 1 ) đạt GTNN tại ( x = 1 ) khi và chỉ khi:

Đạo hàm của hàm số tại ( x = 1 ) bằng 0.
Đạo hàm bậc hai tại ( x = 1 ) phải lớn hơn 0 (để đảm bảo đó là điểm cực tiểu).
Đạo hàm của hàm số là: [ y’ = 3x^2 - 6mx ]

Tại ( x = 1 ): [ y’(1) = 3(1)^2 - 6m(1) = 0 ] [ 3 - 6m = 0 ] [ 6m = 3 ] [ m = \frac{1}{2} ]

Vậy đáp án đúng là C. ( m = \frac{1}{2} ).