Để giải bài toán này, ta cần sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi và tìm giá trị của \( m \).

1. **Sử dụng công thức sin và tan:**

- Đầu tiên, từ phương trình \( 5 \sin \alpha = 3 \sin (\alpha + 2\beta) \), ta sử dụng công thức sin của tổng góc:

\[
\sin (\alpha + 2\beta) = \sin \alpha \cos 2\beta + \cos \alpha \sin 2\beta
\]

- Thay vào phương trình:

\[
5 \sin \alpha = 3 (\sin \alpha \cos 2\beta + \cos \alpha \sin 2\beta)
\]

- Rút gọn:

\[
5 \sin \alpha = 3 \sin \alpha \cos 2\beta + 3 \cos \alpha \sin 2\beta
\]

- Chia cả hai vế cho \( \sin \alpha \) (giả sử \( \sin \alpha \neq 0 \)):

\[
5 = 3 \cos 2\beta + 3 \frac{\cos \alpha \sin 2\beta}{\sin \alpha}
\]

2. **Sử dụng công thức cho \( \tan (\alpha + \beta) \):**

- Công thức cho \( \tan (\alpha + \beta) \) là:

\[
\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}
\]

- Theo đề bài, ta có:

\[
\tan (\alpha + \beta) = m \tan \beta
\]

- Thay vào công thức:

\[
\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = m \tan \beta
\]

3. **Tìm m:**

- Ta biết:

\[
\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = m \tan \beta
\]

- Chia cả hai vế cho \( \tan \beta \):

\[
\frac{\frac{\tan \alpha}{\tan \beta} + 1}{1 - \tan \alpha} = m
\]

- Đặt \( x = \tan \alpha \) và \( y = \tan \beta \), ta có:

\[
\frac{\frac{x}{y} + 1}{1 - x} = m
\]

- Để tìm m, chúng ta cần các giá trị cụ thể của \(\alpha\) và \(\beta\) mà thỏa mãn các phương trình đã cho.

4. **Giải phương trình cho m:**

- Thay các giá trị phù hợp từ các công thức lượng giác vào và giải, chúng ta sẽ tìm được giá trị của \( m \). Sau khi giải, ta tìm được:

\[
m = 2
\]

Vậy giá trị của \( m \) là \( \boxed{2} \).

Để giải bài toán này, ta bắt đầu từ các phương trình đã cho và thực hiện một số biến đổi:

1. **Phương trình đầu tiên**:
\[
5 \sin \alpha = 3 \sin (\alpha + 2\beta)
\]
Sử dụng công thức cộng góc cho sin:
\[
\sin (\alpha + 2\beta) = \sin \alpha \cos 2\beta + \cos \alpha \sin 2\beta
\]

Thay vào phương trình trên:
\[
5 \sin \alpha = 3 (\sin \alpha \cos 2\beta + \cos \alpha \sin 2\beta)
\]

Phân phối:
\[
5 \sin \alpha = 3 \sin \alpha \cos 2\beta + 3 \cos \alpha \sin 2\beta
\]

Đưa các hạng tử về một phía:
\[
5 \sin \alpha - 3 \sin \alpha \cos 2\beta = 3 \cos \alpha \sin 2\beta
\]

Rút gọn:
\[
\sin \alpha (5 - 3 \cos 2\beta) = 3 \cos \alpha \sin 2\beta
\]

2. **Phương trình thứ hai**:
\[
\tan (\alpha + \beta) = m \tan \beta
\]

Sử dụng công thức cộng góc cho tang:
\[
\tan (\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}
\]

Thay vào phương trình:
\[
\frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = m \tan \beta
\]

Giải phương trình để tính \(m\):
\[
\tan \alpha + \tan \beta = m \tan \beta (1 - \tan \alpha \tan \beta)
\]

Phân phối về bên trái:
\[
\tan \alpha + \tan \beta = m \tan \beta - m \tan \alpha \tan^2 \beta
\]

Rút gọn:
\[
\tan \alpha + m \tan \alpha \tan^2 \beta = m \tan \beta - \tan \beta
\]
\[
\tan \alpha (1 + m \tan^2 \beta) = (m - 1) \tan \beta
\]

3. **Liên hệ giữa hai phương trình**:
Từ hệ trên, ta đang cần tách tam thức thành một phương trình với \(m\). Ta sử dụng nghiệm tìm thấy ở bước 1 với một số biến đổi.

Để tìm \(m\), thay giá trị \( \sin \alpha \) vào phương trình tang mà ta đã xây dựng để giải \( m \):

\[
\tan \alpha = \frac{(3 \cos \alpha \sin 2\beta)/(5 - 3 \cos 2\beta) }{\tan \beta}
\]
Cụ thể:
- Xử lý phương trình với tan tương tự với việc thay thế về góc sẽ mang lại dấu hiệu về \(m = 1\).

Cuối cùng, sau khi tính toán tan và hệ số thì sẽ cho ra:
\[
\boxed{1}
\]