Để tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(2 \cos(2x - \frac{\pi}{4}) = 1\), ta thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Giải phương trình cơ bản

1. **Chia cả hai bên phương trình cho 2:**

\[
2 \cos \left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = 1
\]

\[
\cos \left(2x - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2}
\]

2. **Tìm nghiệm của hàm cosin:**

Biết rằng \(\cos \theta = \frac{1}{2}\) khi \(\theta = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\) hoặc \(\theta = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\), với \(k\) là số nguyên.

Do đó:

\[
2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi
\]

hoặc

\[
2x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi
\]

### Bước 2: Giải các phương trình

1. **Giải phương trình đầu tiên:**

\[
2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi
\]

Thay đổi hằng số để có cùng mẫu số chung:

\[
2x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi
\]

\[
2x = \frac{4\pi + 3\pi}{12} + 2k\pi
\]

\[
2x = \frac{7\pi}{12} + 2k\pi
\]

\[
x = \frac{7\pi}{24} + k\pi
\]

2. **Giải phương trình thứ hai:**

\[
2x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi
\]

Thay đổi hằng số để có cùng mẫu số chung:

\[
2x = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi
\]

\[
2x = -\frac{4\pi - 3\pi}{12} + 2k\pi
\]

\[
2x = -\frac{\pi}{12} + 2k\pi
\]

\[
x = -\frac{\pi}{24} + k\pi
\]

### Bước 3: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất

1. **Từ nghiệm đầu tiên:**

\[
x = \frac{7\pi}{24} + k\pi
\]

Với \(k = 0\), nghiệm dương nhỏ nhất là:

\[
x = \frac{7\pi}{24}
\]

2. **Từ nghiệm thứ hai:**

\[
x = -\frac{\pi}{24} + k\pi
\]

Với \(k = 1\), nghiệm dương nhỏ nhất là:

\[
x = -\frac{\pi}{24} + \pi = \frac{23\pi}{24}
\]

### So sánh nghiệm dương nhỏ nhất:

- Nghiệm từ phương trình đầu tiên là \(\frac{7\pi}{24}\)
- Nghiệm từ phương trình thứ hai là \(\frac{23\pi}{24}\)

**Nghiệm dương nhỏ nhất là:**

\[
x = \frac{7\pi}{24}
\]

Để tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \( 2\cos(2x - \frac{\pi}{4}) = 1 \), ta sẽ tiến hành các bước sau:

### Bước 1: Giải phương trình
Bắt đầu từ phương trình đã cho:
\[
2\cos(2x - \frac{\pi}{4}) = 1
\]

Chia cả hai vế cho 2:
\[
\cos(2x - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}
\]

### Bước 2: Tìm các nghiệm của cosine
Ta biết rằng \( \cos \theta = \frac{1}{2} \) khi:
\[
\theta = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{và} \quad \theta = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Do đó, thay thế \(\theta\) bằng \(2x - \frac{\pi}{4}\):
1. \( 2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \)
2. \( 2x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi \)

### Bước 3: Giải từng trường hợp

**Trường hợp 1:**
\[
2x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi
\]
Thêm \(\frac{\pi}{4}\) vào cả hai vế:
\[
2x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi
\]

Tính tổng \( \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} \):
- Tìm mẫu số chung:
\[
\frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{12}, \quad \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12}
\]
Vậy:
\[
\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}
\]
Do đó:
\[
2x = \frac{7\pi}{12} + 2k\pi \implies x = \frac{7\pi}{24} + k\pi
\]

**Trường hợp 2:**
\[
2x - \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi
\]
Thêm \(\frac{\pi}{4}\) vào cả hai vế:
\[
2x = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi
\]

Tính tổng \(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\):
\[
-\frac{\pi}{3} = -\frac{4\pi}{12}, \quad \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{12}
\]
Vậy:
\[
-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = -\frac{4\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} = -\frac{\pi}{12}
\]
Do đó:
\[
2x = -\frac{\pi}{12} + 2k\pi \implies x = -\frac{\pi}{24} + k\pi
\]

### Bước 4: Tìm các nghiệm dương nhỏ nhất
- Với \(k = 0\) trong Trường hợp 1:
\[
x = \frac{7\pi}{24} \approx 0.916 \quad (\text{dương})
\]
- Với \(k = 0\) trong Trường hợp 2:
\[
x = -\frac{\pi}{24} \quad (\text{không dương})
\]
- Với \(k = 1\) trong Trường hợp 1:
\[
x = \frac{7\pi}{24} + \pi = \frac{7\pi}{24} + \frac{24\pi}{24} = \frac{31\pi}{24} \approx 4.069 \quad (\text{dương, nhưng lớn hơn nghiệm trước})
\]

### Kết quả
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là:
\[
\boxed{\frac{7\pi}{24}}
\]