Để tìm các giá trị nguyên \( x \) và \( y \) thoả mãn phương trình \( x^2 + 2y^2 + 2xy + y = 2 \), chúng ta có thể sử dụng các phương pháp đại số, thử nghiệm các giá trị nhỏ, hoặc tìm cách phân tích phương trình.

**Phương trình cần giải là:**
\[ x^2 + 2y^2 + 2xy + y = 2 \]

### Bước 1: Tìm hiểu cấu trúc của phương trình

Chúng ta có thể thử nhóm lại hoặc hoàn thành bình phương để đơn giản hóa phương trình.

1. **Thay đổi cách viết để dễ xử lý hơn:**

Viết lại phương trình:
\[
x^2 + 2xy + 2y^2 + y = 2
\]

Nhóm \( x^2 + 2xy + y^2 \) như sau:
\[
x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2
\]

Do đó:
\[
(x + y)^2 + y^2 + y = 2
\]

2. **Thay đổi ký hiệu:**

Đặt \( z = x + y \). Phương trình trở thành:
\[
z^2 + y^2 + y = 2
\]

### Bước 2: Thử các giá trị nguyên cho \( y \) và giải \( z \)

Chúng ta có thể thử các giá trị nguyên cho \( y \) và kiểm tra điều kiện để \( z \) cũng là số nguyên.

#### Thử \( y = 0 \):
\[
z^2 + 0^2 + 0 = 2
\]
\[
z^2 = 2
\]
Không có giá trị nguyên nào cho \( z \) thỏa mãn.

#### Thử \( y = 1 \):
\[
z^2 + 1^2 + 1 = 2
\]
\[
z^2 + 2 = 2
\]
\[
z^2 = 0
\]
\[
z = 0
\]

Với \( z = 0 \) và \( y = 1 \):
\[
x + y = 0
\]
\[
x + 1 = 0
\]
\[
x = -1
\]

Vậy một nghiệm nguyên là \( (x, y) = (-1, 1) \).

#### Thử \( y = -1 \):
\[
z^2 + (-1)^2 + (-1) = 2
\]
\[
z^2 + 1 - 1 = 2
\]
\[
z^2 = 2
\]
Không có giá trị nguyên nào cho \( z \) thỏa mãn.

#### Thử \( y = 2 \):
\[
z^2 + 2^2 + 2 = 2
\]
\[
z^2 + 4 + 2 = 2
\]
\[
z^2 + 6 = 2
\]
\[
z^2 = -4
\]
Không có giá trị nguyên nào cho \( z \) thỏa mãn.

#### Thử \( y = -2 \):
\[
z^2 + (-2)^2 + (-2) = 2
\]
\[
z^2 + 4 - 2 = 2
\]
\[
z^2 + 2 = 2
\]
\[
z^2 = 0
\]
\[
z = 0
\]

Với \( z = 0 \) và \( y = -2 \):
\[
x + y = 0
\]
\[
x - 2 = 0
\]
\[
x = 2
\]

Vậy một nghiệm nguyên khác là \( (x, y) = (2, -2) \).

### Kết luận

Các nghiệm nguyên của phương trình \( x^2 + 2y^2 + 2xy + y = 2 \) là:
- \( (x, y) = (-1, 1) \)
- \( (x, y) = (2, -2) \)