Để tính giá trị của biểu thức \( b = \sin^3 \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{12} - \cos^3 \frac{\pi}{12} \cdot \sin \frac{\pi}{12} \), ta có thể sử dụng một số công thức lượng giác cơ bản.

### Bước 1: Đặt giá trị của biểu thức

Biểu thức là:

\[
b = \sin^3 \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{12} - \cos^3 \frac{\pi}{12} \cdot \sin \frac{\pi}{12}
\]

### Bước 2: Sử dụng công thức lượng giác

Để đơn giản hóa biểu thức này, ta có thể sử dụng công thức lượng giác liên quan đến hàm số lượng giác:

\[
\sin^3 x \cdot \cos x - \cos^3 x \cdot \sin x
\]

Có thể viết lại theo công thức sau:

\[
\sin^3 x \cdot \cos x - \cos^3 x \cdot \sin x = (\sin x - \cos x) (\sin^2 x \cdot \cos x + \cos^2 x \cdot \sin x)
\]

Tuy nhiên, công thức trên vẫn có vẻ phức tạp, nên ta sử dụng một phương pháp đơn giản hơn.

### Bước 3: Thay giá trị \( x = \frac{\pi}{12} \)

Ta có:

\[
\sin \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
\]
\[
\cos \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
\]

### Bước 4: Tính giá trị từng phần

**Tính \(\sin^3 \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{12}\):**

\[
\sin^3 \frac{\pi}{12} = \left( \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \right)^3
\]
\[
\cos \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
\]

**Tính \(\cos^3 \frac{\pi}{12} \cdot \sin \frac{\pi}{12}\):**

\[
\cos^3 \frac{\pi}{12} = \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \right)^3
\]
\[
\sin \frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}
\]

Tính các giá trị này là khá phức tạp, do đó, một cách đơn giản hơn là dùng một công thức lượng giác khác để giải quyết bài toán.

### Bước 5: Sử dụng công thức đơn giản hơn

Sử dụng công thức lượng giác:

\[
\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x
\]
\[
\cos 3x = 4 \cos^3 x - 3 \cos x
\]

Với \( x = \frac{\pi}{12} \), ta có:

\[
\sin \frac{\pi}{4} = \sin \left(3 \times \frac{\pi}{12}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Áp dụng vào công thức:

\[
\sin \frac{\pi}{4} = 3 \sin \frac{\pi}{12} - 4 \sin^3 \frac{\pi}{12}
\]
\[
\frac{\sqrt{2}}{2} = 3 \sin \frac{\pi}{12} - 4 \sin^3 \frac{\pi}{12}
\]

\[
\cos \frac{\pi}{4} = 4 \cos^3 \frac{\pi}{12} - 3 \cos \frac{\pi}{12}
\]
\[
\frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \cos^3 \frac{\pi}{12} - 3 \cos \frac{\pi}{12}
\]

Từ đây ta có:

\[
b = \sin^3 \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{12} - \cos^3 \frac{\pi}{12} \cdot \sin \frac{\pi}{12} = 0
\]

**Kết luận:**

Biểu thức \( b = \sin^3 \frac{\pi}{12} \cdot \cos \frac{\pi}{12} - \cos^3 \frac{\pi}{12} \cdot \sin \frac{\pi}{12} \) có giá trị bằng \( \boxed{0} \).

Để tính giá trị biểu thức \( b = \sin^3 \left( \frac{\pi}{12} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{12} \right) - \cos^3 \left( \frac{\pi}{12} \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{12} \right) \), ta có thể sử dụng một số công thức đại số.

Biểu thức trên có thể được viết lại như sau:

\[
b = \sin \left( \frac{\pi}{12} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{12} \right) \left( \sin^2 \left( \frac{\pi}{12} \right) - \cos^2 \left( \frac{\pi}{12} \right) \right)
\]

Áp dụng công thức \( \sin^2 x - \cos^2 x = -\cos(2x) \):

\[
b = \sin \left( \frac{\pi}{12} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{12} \right) \cdot -\cos\left( \frac{\pi}{6} \right)
\]

Vì \( \cos\left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \), ta có:

\[
b = -\sin \left( \frac{\pi}{12} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{12} \right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

Sử dụng công thức \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \), ta có:

\[
\sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = 2 \sin \left( \frac{\pi}{12} \right) \cos \left( \frac{\pi}{12} \right) = \frac{1}{2}
\]

Do đó,

\[
\sin \left( \frac{\pi}{12} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{12} \right) = \frac{1}{4}
\]

Thay vào biểu thức tính được:

\[
b = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{4} = -\frac{\sqrt{3}}{8}
\]

Vậy giá trị của biểu thức là:

\[
\boxed{-\frac{\sqrt{3}}{8}}
\]