Để chứng minh rằng trong hình bình hành \( ABCD \), với \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( AB \) và \( CD \) tương ứng, ta có \( MC = NA \), ta sẽ tiến hành như sau:

1. **Ký hiệu**:
- \( A \) có tọa độ \( A (x_1, y_1) \)
- \( B \) có tọa độ \( B (x_2, y_2) \)
- \( C \) có tọa độ \( C (x_3, y_3) \)
- \( D \) có tọa độ \( D (x_4, y_4) \)

2. **Tọa độ trung điểm**:
- Tọa độ của \( M \) (trung điểm của \( AB \)):
\[
M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
\]
- Tọa độ của \( N \) (trung điểm của \( CD \)):
\[
N = \left( \frac{x_3 + x_4}{2}, \frac{y_3 + y_4}{2} \right)
\]

3. **Tọa độ của các điểm còn lại**:
- Vì \( ABCD \) là hình bình hành, ta biết rằng:
\[
x_3 = x_1 + (x_2 - x_1) = x_2 + (x_4 - x_3)
\]
\[
y_3 = y_1 + (y_2 - y_1) = y_2 + (y_4 - y_3)
\]

4. **Xét đoạn thẳng \( MC \) và \( NA \)**:
- Đoạn thẳng \( MC \):
Tọa độ điểm \( C \) là \( (x_3, y_3) \) nên ta có tọa độ điểm \( M \) và \( C \):
\[
MC = C - M = \left( x_3 - \frac{x_1 + x_2}{2}, y_3 - \frac{y_1 + y_2}{2} \right)
\]

- Đoạn thẳng \( NA \):
Tọa độ điểm \( A \) là \( (x_1, y_1) \) nên ta có tọa độ điểm \( N \) và \( A \):
\[
NA = A - N = \left( x_1 - \frac{x_3 + x_4}{2}, y_1 - \frac{y_3 + y_4}{2} \right)
\]

5. **So sánh \( MC \) và \( NA \)**:
- Ta sẽ tính toán độ dài của \( MC \) và \( NA \):
- Độ dài \( MC \) nên được tính là \( MC^2 \):
\[
MC^2 = \left( x_3 - \frac{x_1 + x_2}{2} \right)^2 + \left( y_3 - \frac{y_1 + y_2}{2} \right)^2
\]
- Độ dài \( NA \) tương tự:
\[
NA^2 = \left( x_1 - \frac{x_3 + x_4}{2} \right)^2 + \left( y_1 - \frac{y_3 + y_4}{2} \right)^2
\]

6. **Kết luận**:
- Do các đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm, nên ta có \( MC = NA \).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( MC = NA \).