Để tìm hai số nguyên tố \( p \) và \( q \) thỏa mãn phương trình:

\[ p^4 - q^2(p^2 + q^2 + 1) = (q^2 + 1)^2, \]

ta sẽ giải phương trình này bằng cách thử nghiệm với các giá trị nguyên tố nhỏ cho \( p \) và \( q \) và kiểm tra điều kiện.

### 1. Kiểm tra với các giá trị nguyên tố nhỏ:

#### Thử \( p = 2 \) và \( q = 3 \):

\[
p = 2, \quad q = 3
\]

Thay vào phương trình:

\[
2^4 - 3^2(2^2 + 3^2 + 1) = (3^2 + 1)^2
\]

Tính toán:

\[
2^4 = 16
\]
\[
3^2 = 9
\]
\[
2^2 + 3^2 + 1 = 4 + 9 + 1 = 14
\]
\[
9 \cdot 14 = 126
\]
\[
16 - 126 = -110
\]

Và:

\[
(3^2 + 1)^2 = (9 + 1)^2 = 10^2 = 100
\]

Kết quả:

\[
-110 \neq 100
\]

Nên \( p = 2 \) và \( q = 3 \) không thỏa mãn phương trình.

#### Thử \( p = 3 \) và \( q = 2 \):

\[
p = 3, \quad q = 2
\]

Thay vào phương trình:

\[
3^4 - 2^2(3^2 + 2^2 + 1) = (2^2 + 1)^2
\]

Tính toán:

\[
3^4 = 81
\]
\[
2^2 = 4
\]
\[
3^2 + 2^2 + 1 = 9 + 4 + 1 = 14
\]
\[
4 \cdot 14 = 56
\]
\[
81 - 56 = 25
\]

Và:

\[
(2^2 + 1)^2 = (4 + 1)^2 = 5^2 = 25
\]

Kết quả:

\[
25 = 25
\]

Như vậy, \( p = 3 \) và \( q = 2 \) thỏa mãn phương trình.

### 2. Kết luận:

Hai số nguyên tố \( p \) và \( q \) thỏa mãn phương trình là \( p = 3 \) và \( q = 2 \).

Để giải phương trình

\[
p^4 - q^2(p^2 + q^2 + 1) = (q^2 + 1)^2,
\]

chúng ta sẽ làm rõ và sắp xếp lại các hạng tử. Trước hết, ta chuyển tất cả các hạng tử về phía trái của phương trình:

\[
p^4 - q^2(p^2 + q^2 + 1) - (q^2 + 1)^2 = 0.
\]

Mở rộng các hạng tử:

\[
p^4 - q^2(p^2 + q^2 + 1) - (q^4 + 2q^2 + 1) = 0.
\]

Kết hợp các biến và các hệ số, ta làm như sau:

\[
p^4 - q^2 p^2 - q^4 - 3q^2 - 1 = 0.
\]

Đây là một phương trình đa thức bậc 4 theo \( p \) và là một phương trình bậc 2 theo \( q \).

Bây giờ, để tìm các số nguyên tố \( p \) và \( q \), ta sẽ thử các giá trị cụ thể cho \( p \) và \( q \).

**Bước 1: Thử các số nguyên tố nhỏ cho \( q \).**

1. Thử \( q = 2 \):
\[
p^4 - 2^2(p^2 + 2^2 + 1) - (2^2 + 1)^2 = 0,
\]
\[
p^4 - 4(p^2 + 4 + 1) - 25 = 0,
\]
\[
p^4 - 4p^2 - 20 = 0.
\]
Đặt \( x = p^2 \):
\[
x^2 - 4x - 20 = 0.
\]
Tính delta:
\[
\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 16 + 80 = 96.
\]
Phương trình có nghiệm:
\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{96}}{2} = 2 \pm 4\sqrt{6}.
\]
(Không có nghiệm nguyên).

2. Thử \( q = 3 \):
\[
p^4 - 3^2(p^2 + 3^2 + 1) - (3^2 + 1)^2 = 0,
\]
\[
p^4 - 9(p^2 + 9 + 1) - 16 = 0,
\]
\[
p^4 - 9p^2 - 100 = 0.
\]
Đặt \( x = p^2 \):
\[
x^2 - 9x - 100 = 0.
\]
Tính delta:
\[
\Delta = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-100) = 81 + 400 = 481.
\]
Phương trình không có nghiệm nguyên.

3. Thử \( q = 5 \):
\[
p^4 - 5^2(p^2 + 5^2 + 1) - (5^2 + 1)^2 = 0,
\]
\[
p^4 - 25(p^2 + 25 + 1) - 36 = 0,
\]
\[
p^4 - 25p^2 - 637 = 0.
\]
Đặt \( x = p^2 \):
\[
x^2 - 25x - 637 = 0.
\]
Tính delta:
\[
\Delta = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-637) = 625 + 2548 = 3173.
\]
Phương trình không có nghiệm nguyên.

**Bước 2: Thử thêm** (với giá trị \( p \) và \( q \) có thể lớn hơn).
Tiếp tục thử các giá trị của \( p \) và \( q \) cho đến khi tìm được cặp nguyên tố \( (p, q) \).

Sau nhiều lần thử, ta có thể nhận thấy rằng không có cặp số nguyên tố nào thỏa mãn phương trình trên trong các số nguyên tố nhỏ.

Tuy nhiên, với các số nguyên tố lớn hơn, có thể cần áp dụng phương pháp lập trình hoặc phần mềm tính toán để tìm cặp số \( p, q \).

Kết quả là: Cần thử thêm hoặc áp dụng phần mềm để tìm ra cặp số nguyên tố \( (p, q) \) thỏa mãn phương trình.