Để thực hiện các phép tính và sử dụng các hằng đẳng thức trong toán học, ta cần áp dụng các công thức đại số cơ bản. Dưới đây là cách thực hiện các phép tính với sự áp dụng của các hằng đẳng thức:

### A) \((a - b - c)^2 - (a - b + c)^2\)

Sử dụng công thức hiệu của hai bình phương:

\[
A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)
\]

Ở đây:
- \(A = a - b - c\)
- \(B = a - b + c\)

Áp dụng công thức:

\[
(a - b - c)^2 - (a - b + c)^2 = [(a - b - c) - (a - b + c)][(a - b - c) + (a - b + c)]
\]

Tính từng phần:

**1. Phần \((a - b - c) - (a - b + c)\):**

\[
(a - b - c) - (a - b + c) = a - b - c - a + b - c = -2c
\]

**2. Phần \((a - b - c) + (a - b + c)\):**

\[
(a - b - c) + (a - b + c) = a - b - c + a - b + c = 2a - 2b
\]

Kết hợp lại:

\[
(a - b - c)^2 - (a - b + c)^2 = (-2c)(2a - 2b) = -4c(a - b)
\]

**Kết quả:**

\[
(a - b - c)^2 - (a - b + c)^2 = -4c(a - b)
\]

### B) \((a - x - y)^3 - (a + x - y)^3\)

Sử dụng công thức hiệu của hai lập phương:

\[
A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)
\]

Ở đây:
- \(A = a - x - y\)
- \(B = a + x - y\)

Áp dụng công thức:

\[
(a - x - y)^3 - (a + x - y)^3 = [(a - x - y) - (a + x - y)][(a - x - y)^2 + (a - x - y)(a + x - y) + (a + x - y)^2]
\]

Tính từng phần:

**1. Phần \((a - x - y) - (a + x - y)\):**

\[
(a - x - y) - (a + x - y) = a - x - y - a - x + y = -2x
\]

**2. Phần \((a - x - y)^2 + (a - x - y)(a + x - y) + (a + x - y)^2\):**

Tính từng bình phương:

\[
(a - x - y)^2 = a^2 - 2a(x + y) + (x + y)^2
\]
\[
(a + x - y)^2 = a^2 + 2a(x - y) + (x - y)^2
\]
\[
(a - x - y)(a + x - y) = a^2 - (x + y)^2
\]

Kết hợp lại:

\[
(a - x - y)^2 + (a - x - y)(a + x - y) + (a + x - y)^2 = a^2 - 2a(x + y) + (x + y)^2 + a^2 - (x + y)^2 + a^2 + 2a(x - y) + (x - y)^2
\]
\[
= 3a^2 + (x - y)^2 - 2a(x + y) + 2a(x - y)
\]
\[
= 3a^2 + x^2 - 2xy + y^2
\]

Kết hợp lại với phần \((A - B)\):

\[
(a - x - y)^3 - (a + x - y)^3 = -2x \left[3a^2 + x^2 - 2xy + y^2\right]
\]

**Kết quả:**

\[
(a - x - y)^3 - (a + x - y)^3 = -2x \left[3a^2 + x^2 - 2xy + y^2\right]
\]

### C) \((1 + x + x^2)(1 - x)(1 + x)(1 - x + x^2)\)

Sử dụng các hằng đẳng thức và phân tích để đơn giản hóa:

**1. Nhóm hai biểu thức đầu tiên:**

\[
(1 + x + x^2)(1 - x) = (1 + x + x^2 - x - x^2 - x^3) = 1 - x^3
\]

**2. Nhóm hai biểu thức tiếp theo:**

\[
(1 + x)(1 - x + x^2) = (1 + x - x + x^2 - x^2 + x^3) = 1 + x^3
\]

**3. Nhân hai kết quả lại:**

\[
(1 - x^3)(1 + x^3) = 1^2 - (x^3)^2 = 1 - x^6
\]

**Kết quả:**

\[
(1 + x + x^2)(1 - x)(1 + x)(1 - x + x^2) = 1 - x^6
\]