Để rút gọn các biểu thức, ta sẽ sử dụng các công thức đại số cơ bản và tính chất của các biểu thức số học. Dưới đây là cách rút gọn từng biểu thức một:

### a) \((x + y)^2 + (x - y)^2\)

**Bước 1:** Mở rộng từng bình phương.

\[
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
\]
\[
(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2
\]

**Bước 2:** Cộng hai kết quả lại.

\[
(x + y)^2 + (x - y)^2 = (x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2xy + y^2)
\]
\[
= x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy + y^2
\]
\[
= 2x^2 + 2y^2
\]

**Kết quả:**
\[
(x + y)^2 + (x - y)^2 = 2x^2 + 2y^2
\]

### b) \(2(x - y)(x + y) + (x - y)^2 + (x + y)^2\)

**Bước 1:** Mở rộng các biểu thức.

\[
2(x - y)(x + y) = 2(x^2 - y^2)
\]
\[
(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2
\]
\[
(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
\]

**Bước 2:** Cộng tất cả các kết quả lại.

\[
2(x^2 - y^2) + (x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 + 2xy + y^2)
\]
\[
= 2x^2 - 2y^2 + x^2 - 2xy + y^2 + x^2 + 2xy + y^2
\]
\[
= 2x^2 - 2y^2 + x^2 + x^2 + y^2 + y^2
\]
\[
= 4x^2 - 2y^2 + 2y^2
\]
\[
= 4x^2
\]

**Kết quả:**
\[
2(x - y)(x + y) + (x - y)^2 + (x + y)^2 = 4x^2
\]

### c) \((x - y + z)^2 + (z - y)^2 + 2(x - y + z)(y - z)\)

**Bước 1:** Mở rộng từng bình phương và biểu thức.

\[
(x - y + z)^2 = x^2 - 2xy + y^2 + 2xz - 2yz + z^2
\]
\[
(z - y)^2 = z^2 - 2yz + y^2
\]
\[
2(x - y + z)(y - z) = 2[(x - y + z)(y - z)]
\]
\[
= 2[x(y - z) - y(y - z) + z(y - z)]
\]
\[
= 2[xy - xz - y^2 + yz + zy - z^2]
\]
\[
= 2xy - 2xz - 2y^2 + 2yz + 2zy - 2z^2
\]
\[
= 2xy - 2xz - 2y^2 + 2yz + 2yz - 2z^2
\]
\[
= 2xy - 2xz - 2y^2 + 4yz - 2z^2
\]

**Bước 2:** Cộng tất cả các kết quả lại.

\[
(x - y + z)^2 + (z - y)^2 + 2(x - y + z)(y - z)
\]
\[
= [x^2 - 2xy + y^2 + 2xz - 2yz + z^2] + [z^2 - 2yz + y^2] + [2xy - 2xz - 2y^2 + 4yz - 2z^2]
\]
\[
= x^2 - 2xy + y^2 + 2xz - 2yz + z^2 + z^2 - 2yz + y^2 + 2xy - 2xz - 2y^2 + 4yz - 2z^2
\]
\[
= x^2 + y^2 + 2z^2 - 2y^2 + 4yz - 2yz
\]
\[
= x^2 + y^2 + 2z^2 - 2y^2 + 2yz
\]
\[
= x^2 - y^2 + 2z^2
\]

**Kết quả:**
\[
(x - y + z)^2 + (z - y)^2 + 2(x - y + z)(y - z) = x^2 - y^2 + 2z^2
\]

Dưới đây là các bước rút gọn các biểu thức:

### a) \((x+y)^2 + (x-y)^2\)

1. Mở rộng từng hạng tử:
\[
(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
\]
\[
(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2
\]

2. Cộng hai kết quả mở rộng lại:
\[
(x+y)^2 + (x-y)^2 = (x^2 + 2xy + y^2) + (x^2 - 2xy + y^2)
\]
\[
= x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy + y^2
\]
\[
= 2x^2 + 2y^2
\]

Vậy biểu thức \((x+y)^2 + (x-y)^2\) rút gọn được là \(2x^2 + 2y^2\).

### b) \(2(x-y)(x+y) + (x-y)^2 + (x+y)^2\)

1. Mở rộng \(2(x-y)(x+y)\):
\[
2(x-y)(x+y) = 2(x^2 - y^2)
\]

2. Mở rộng \((x-y)^2\) và \((x+y)^2\):
\[
(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2
\]
\[
(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
\]

3. Cộng tất cả các hạng tử lại:
\[
2(x^2 - y^2) + (x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 + 2xy + y^2)
\]
\[
= 2x^2 - 2y^2 + x^2 - 2xy + y^2 + x^2 + 2xy + y^2
\]
\[
= 2x^2 - 2y^2 + 2x^2 + 2y^2
\]
\[
= 4x^2
\]

Vậy biểu thức \(2(x-y)(x+y) + (x-y)^2 + (x+y)^2\) rút gọn được là \(4x^2\).

### c) \((x-y+z)^2 + (z-y)^2 + 2(x-y+z)(y-z)\)

1. Mở rộng \((x-y+z)^2\):
\[
(x-y+z)^2 = x^2 - 2xy + y^2 + z^2 + 2xz - 2yz
\]

2. Mở rộng \((z-y)^2\):
\[
(z-y)^2 = z^2 - 2zy + y^2
\]

3. Mở rộng \(2(x-y+z)(y-z)\):
\[
2(x-y+z)(y-z) = 2[(x-y)(y-z) + z(y-z)]
\]
\[
= 2[xy - xz - y^2 + yz + zy - z^2]
\]
\[
= 2xy - 2xz - 2y^2 + 2yz + 2zy - 2z^2
\]
\[
= 2xy - 2xz - 2y^2 + 4yz - 2z^2
\]

4. Cộng tất cả các hạng tử lại:
\[
(x-y+z)^2 + (z-y)^2 + 2(x-y+z)(y-z)
\]
\[
= [x^2 - 2xy + y^2 + z^2 + 2xz - 2yz] + [z^2 - 2zy + y^2] + [2xy - 2xz - 2y^2 + 4yz - 2z^2]
\]
\[
= x^2 - 2xy + y^2 + z^2 + 2xz - 2yz + z^2 - 2zy + y^2 + 2xy - 2xz - 2y^2 + 4yz - 2z^2
\]
\[
= x^2 - 2y^2 + 2y^2 + z^2 - 2z^2 + z^2 + 2xy - 2xy + 2xz - 2xz - 2zy + 4yz - 2zy
\]
\[
= x^2
\]

Vậy biểu thức \((x-y+z)^2 + (z-y)^2 + 2(x-y+z)(y-z)\) rút gọn được là \(x^2\).