Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh rằng \( HP = HQ \) nếu và chỉ nếu \( PQ \perp HM \), ta sẽ dùng các tính chất hình học của tam giác và vị trí của trực tâm.

### Bước 1: Chứng minh tính một chiều

**Giả thiết 1:** Giả định \( HP = HQ \)

- Khi đó, theo định nghĩa, \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \), nên \( H \) nằm trên đường cao từ \( A \) đến \( BC \).
- Gọi \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \). Vì \( HP = HQ \), điểm \( H \) nằm chính giữa đoạn thẳng \( PQ \).

- Từ đó, ta có:
- Tam giác \( HMQ \) và \( HMP \) là 2 tam giác có đoạn \( HM \) chung và \( HP = HQ \).
- Do đó, thiết lập đường thẳng \( PQ \) vu góc với đoạn thẳng \( HM \), dẫn đến \( PQ \perp HM \).

### Bước 2: Giả thiết 2: Chứng minh ngược lại

**Giả thiết:** Giả sử \( PQ \perp HM \)

- Khi PQ \) vuông góc với \( HM \), ta xem xét tam giác \( HMP \) và \( HMQ \).
- Theo định lý về giao điểm trực tâm và trung điểm, hai đoạn thẳng \( HP \) và \( HQ \) là độ dài của cạnh hai tam giác tạo thành là đi qua cùng một điểm trực tâm \( H \).

- Khi \( PQ \perp HM \), điều này dẫn đến rằng khoảng cách từ \( P \) đến đường thẳng \( HM \) bằng khoảng cách từ \( Q \) đến đường thẳng \( \) vì \( PQ \) là một đường thẳng vuông góc chia đều.
- Do đó, ta có \( HP = HQ \) từ tính đối xứng.

### Kết luận
Tóm lại, ta đã chứng minh rằng \( HP = HQ \) nếu và chỉ nếu \( PQ \perp HM \).

\[
\text{HP = HQ }\Leftrightarrow PQ \perp HM
\]

Điều này được hoàn thành bằng cách sử dụng định nghĩa của trực tâm và các tính chất cơ bản của tam giác, cũng như tính đối xứng liên quan đến đường cao trong tam giác.

...Xem thêm

Answer 2

Để chứng minh rằng \( HP = HQ \) nếu và chỉ nếu \( PQ \perp HM \), ta sẽ dùng các tính chất hình học của tam giác và vị trí của trực tâm.

### Bước 1: Chứng minh tính một chiều

**Giả thiết 1:** Giả định \( HP = HQ \)

- Khi đó, theo định nghĩa, \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \), nên \( H \) nằm trên đường cao từ \( A \) đến \( BC \).
- Gọi \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \). Vì \( HP = HQ \), điểm \( H \) nằm chính giữa đoạn thẳng \( PQ \).

- Từ đó, ta có:
- Tam giác \( HMQ \) và \( HMP \) là 2 tam giác có đoạn \( HM \) chung và \( HP = HQ \).
- Do đó, thiết lập đường thẳng \( PQ \) vu góc với đoạn thẳng \( HM \), dẫn đến \( PQ \perp HM \).

### Bước 2: Giả thiết 2: Chứng minh ngược lại

**Giả thiết:** Giả sử \( PQ \perp HM \)

- Khi PQ \) vuông góc với \( HM \), ta xem xét tam giác \( HMP \) và \( HMQ \).
- Theo định lý về giao điểm trực tâm và trung điểm, hai đoạn thẳng \( HP \) và \( HQ \) là độ dài của cạnh hai tam giác tạo thành là đi qua cùng một điểm trực tâm \( H \).

- Khi \( PQ \perp HM \), điều này dẫn đến rằng khoảng cách từ \( P \) đến đường thẳng \( HM \) bằng khoảng cách từ \( Q \) đến đường thẳng \( \) vì \( PQ \) là một đường thẳng vuông góc chia đều.
- Do đó, ta có \( HP = HQ \) từ tính đối xứng.

### Kết luận
Tóm lại, ta đã chứng minh rằng \( HP = HQ \) nếu và chỉ nếu \( PQ \perp HM \).

\[
\text{HP = HQ }\Leftrightarrow PQ \perp HM
\]

Điều này được hoàn thành bằng cách sử dụng định nghĩa của trực tâm và các tính chất cơ bản của tam giác, cũng như tính đối xứng liên quan đến đường cao trong tam giác.

Answer 3

Để chứng minh rằng ( HP = HQ ) khi và chỉ khi ( PQ \perp HM ), ta có thể làm theo các bước sau:

Giả sử ( HP = HQ ):

Vì ( HP = HQ ), ta có thể suy ra rằng ( H ) là trung điểm của đoạn thẳng ( PQ ).
Do đó, ( PQ ) là đường trung trực của đoạn thẳng ( HM ), tức là ( PQ \perp HM ).
Giả sử ( PQ \perp HM ):

Vì ( PQ \perp HM ), ta có thể suy ra rằng ( H ) là trung điểm của đoạn thẳng ( PQ ).
Do đó, ( HP = HQ ).
Như vậy, ta đã chứng minh được rằng ( HP = HQ ) khi và chỉ khi ( PQ \perp HM ).

2 câu trả lời 480

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 8