Để tìm khoảng cách giữa hai điểm cực trị của hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 4 \), trước tiên chúng ta cần xác định các điểm cực trị của hàm số.

### Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số

Tính đạo hàm cấp 1 của hàm số để tìm các điểm cực trị:

\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 4 \right) \]
\[ y' = x^2 - 2x \]

### Bước 2: Tìm các điểm cực trị

Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị:

\[ x^2 - 2x = 0 \]
\[ x(x - 2) = 0 \]

Nghiệm của phương trình là:

\[ x = 0 \]
\[ x = 2 \]

### Bước 3: Tính tọa độ các điểm cực trị

Thay \( x = 0 \) và \( x = 2 \) vào hàm số để tính giá trị \( y \):

- Khi \( x = 0 \):
\[ y = \frac{1}{3}(0)^3 - (0)^2 + 4 = 4 \]
Điểm cực trị là \( (0, 4) \).

- Khi \( x = 2 \):
\[ y = \frac{1}{3}(2)^3 - (2)^2 + 4 \]
\[ y = \frac{1}{3}(8) - 4 + 4 \]
\[ y = \frac{8}{3} - 4 + 4 \]
\[ y = \frac{8}{3} \]
Điểm cực trị là \( (2, \frac{8}{3}) \).

### Bước 4: Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị

Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm \((x_1, y_1)\) và \((x_2, y_2)\):

\[ \text{Khoảng cách} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

Áp dụng vào hai điểm cực trị:

- \( (x_1, y_1) = (0, 4) \)
- \( (x_2, y_2) = (2, \frac{8}{3}) \)

Tính:

\[ \text{Khoảng cách} = \sqrt{(2 - 0)^2 + \left(\frac{8}{3} - 4\right)^2} \]
\[ = \sqrt{2^2 + \left(\frac{8}{3} - \frac{12}{3}\right)^2} \]
\[ = \sqrt{4 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2} \]
\[ = \sqrt{4 + \frac{16}{9}} \]
\[ = \sqrt{\frac{36}{9} + \frac{16}{9}} \]
\[ = \sqrt{\frac{52}{9}} \]
\[ = \frac{\sqrt{52}}{3} \]
\[ = \frac{2\sqrt{13}}{3} \]

Vậy khoảng cách giữa hai điểm cực trị là \(\frac{2\sqrt{13}}{3}\).

Để tìm khoảng cách giữa hai điểm cực trị của hàm số ( y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 4 ), chúng ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số
[ y’ = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 4\right) = x^2 - 2x ]

Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình ( y’ = 0 )
[ x^2 - 2x = 0 ] [ x(x - 2) = 0 ] [ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 ]

Bước 3: Tìm giá trị của hàm số tại các điểm cực trị
Tại ( x = 0 ): [ y(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - (0)^2 + 4 = 4 ]
Tại ( x = 2 ): [ y(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - (2)^2 + 4 = \frac{8}{3} - 4 + 4 = \frac{8}{3} ]
Bước 4: Tìm khoảng cách giữa hai điểm cực trị
Hai điểm cực trị là ( (0, 4) ) và ( (2, \frac{8}{3}) ).
Khoảng cách giữa hai điểm này được tính bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ] [ d = \sqrt{(2 - 0)^2 + \left(\frac{8}{3} - 4\right)^2} ] [ d = \sqrt{4 + \left(\frac{8}{3} - \frac{12}{3}\right)^2} ] [ d = \sqrt{4 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2} ] [ d = \sqrt{4 + \frac{16}{9}} ] [ d = \sqrt{\frac{36}{9} + \frac{16}{9}} ] [ d = \sqrt{\frac{52}{9}} ] [ d = \frac{\sqrt{52}}{3} ] [ d = \frac{2\sqrt{13}}{3} ]
Vậy khoảng cách giữa hai điểm cực trị của hàm số là ( \frac{2\sqrt{13}}{3} ).