Để giải phương trình

\[
|2024x - x^2| = |(x - 1) \cdot (x - 2024)|
\]

chúng ta cần xem xét hai trường hợp của giá trị tuyệt đối: khi biểu thức bên trái và bên phải đều dương hoặc đều âm.

### **1. Phân tích phương trình**

#### **a. Tìm các điểm mà các biểu thức bên trong giá trị tuyệt đối bằng 0:**

1. **Biểu thức bên trái** \( 2024x - x^2 \):
- Xét phương trình \( 2024x - x^2 = 0 \):
\[
x(2024 - x) = 0
\]
- Ta có hai nghiệm: \( x = 0 \) và \( x = 2024 \).

2. **Biểu thức bên phải** \( (x - 1) \cdot (x - 2024) \):
- Xét phương trình \( (x - 1) \cdot (x - 2024) = 0 \):
\[
x - 1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x - 2024 = 0
\]
- Ta có hai nghiệm: \( x = 1 \) và \( x = 2024 \).

### **2. Xét các khoảng và các trường hợp**

#### **a. Khoảng \( x < 0 \)**

Trong khoảng này, cả hai biểu thức \( 2024x - x^2 \) và \( (x - 1) \cdot (x - 2024) \) đều âm (vì \( x \) nhỏ hơn cả 0, 1, và 2024), nên:

\[
|2024x - x^2| = -(2024x - x^2) = x^2 - 2024x
\]
\[
|(x - 1) \cdot (x - 2024)| = - (x - 1) \cdot (x - 2024) = -(x^2 - 2025x + 2024)
\]

Phương trình trở thành:

\[
x^2 - 2024x = -(x^2 - 2025x + 2024)
\]

Giải:

\[
x^2 - 2024x = -x^2 + 2025x - 2024
\]
\[
2x^2 - 4049x + 2024 = 0
\]

#### **b. Khoảng \( 0 \leq x < 1 \)**

Trong khoảng này, \( 2024x - x^2 \) dương và \( (x - 1) \cdot (x - 2024) \) âm, vì \( x - 1 < 0 \) và \( x - 2024 < 0 \). Do đó:

\[
|2024x - x^2| = 2024x - x^2
\]
\[
|(x - 1) \cdot (x - 2024)| = -(x - 1) \cdot (x - 2024) = - (x^2 - 2025x + 2024)
\]

Phương trình trở thành:

\[
2024x - x^2 = -(x^2 - 2025x + 2024)
\]
\[
2024x - x^2 = -x^2 + 2025x - 2024
\]
\[
2024x - 2025x = -2024
\]
\[
-x = -2024
\]
\[
x = 2024
\]

Tuy nhiên, \( x = 2024 \) không thuộc khoảng này, nên không có nghiệm ở đây.

#### **c. Khoảng \( 1 \leq x < 2024 \)**

Trong khoảng này, \( 2024x - x^2 \) dương và \( (x - 1) \cdot (x - 2024) \) âm, vì \( x - 1 \geq 0 \) và \( x - 2024 < 0 \). Do đó:

\[
|2024x - x^2| = 2024x - x^2
\]
\[
|(x - 1) \cdot (x - 2024)| = -(x - 1) \cdot (x - 2024) = - (x^2 - 2025x + 2024)
\]

Phương trình trở thành:

\[
2024x - x^2 = -(x^2 - 2025x + 2024)
\]
\[
2024x - x^2 = -x^2 + 2025x - 2024
\]
\[
2024x - 2025x = -2024
\]
\[
-x = -2024
\]
\[
x = 2024
\]

Như trước đây, \( x = 2024 \) không thuộc khoảng này, nên không có nghiệm ở đây.

#### **d. Khoảng \( x \geq 2024 \)**

Trong khoảng này, cả hai biểu thức đều dương. Do đó:

\[
|2024x - x^2| = 2024x - x^2
\]
\[
|(x - 1) \cdot (x - 2024)| = (x - 1) \cdot (x - 2024)
\]

Phương trình trở thành:

\[
2024x - x^2 = x^2 - 2025x + 2024
\]
\[
2024x - x^2 = x^2 - 2025x + 2024
\]
\[
2024x - 2025x = 2x^2 - 2024
\]
\[
-x = 2x^2 - 2024
\]
\[
2x^2 + x - 2024 = 0
\]

### **3. Giải phương trình bậc hai**

Giải phương trình bậc hai \( 2x^2 - x - 2024 = 0 \) bằng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]
Với \( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = -2024 \):

\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \times 2 \times 2024}}{4}
\]
\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 16192}}{4}
\]
\[
x = \frac{1 \pm \sqrt{16193}}{4}
\]

Tính giá trị của căn bậc hai gần đúng:

\[
\sqrt{16193} \approx 127.3
\]
\[
x = \frac{1 \pm 127.3}{4}
\]

Lấy nghiệm dương:

\[
x \approx \frac{1 + 127.3}{4} = \frac{128.3}{4} = 32.075
\]

### **Kết luận**

- **Các nghiệm của phương trình:**
- \( x = 0 \)
- \( x = 1 \)
- \( x = 2024 \)
- \( x \approx 32.075 \)

Với các nghiệm cụ thể và khoảng giá trị, bạn có thể kiểm tra lại và điều chỉnh cho phù hợp với phương trình gốc và các điều kiện đã cho.

Để giải bài toán tìm các giá trị của \(x, y, z\) từ các phương trình và bất phương trình đã cho, chúng ta sẽ phân tích từng phần một.

### a) Phương trình:
\[
2024x - x^2 = -(x-1)(x-2024)
\]

Sắp xếp như sau:
\[
2024x - x^2 + (x^2 - 2025x + 2024) = 0
\]
\[
-x^2 + 2024x + x^2 - 2025x + 2024 = 0
\]
\[
-2025x + 2024 = 0
\]
\[
2025x = 2024 \Rightarrow x = \frac{2024}{2025}
\]

### b) Bất phương trình:
\[
5|x + 1| + 4|y - 7| \leq 0
\]

Bởi vì \(5|x + 1| \geq 0\) và \(4|y - 7| \geq 0\), cả hai biểu thức đều không âm, nên:
\[
5|x + 1| + 4|y - 7| = 0
\]
Điều này xảy ra khi:
\[
|x + 1| = 0 \quad \text{và} \quad |y - 7| = 0
\]
Vậy:
\[
x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1
\]
\[
y - 7 = 0Rightarrow y = 7
\]

### c) Phương trình:
\[
\left| \frac{2x + 3}{4} \right| + \left| \frac{y - 1}{2} \right| + |2x + 3y - z| = 0
\]

Từng phần đều không âm, vì vậy:
\[
\frac{2x + 3}{4} = 0, \quad \frac{y - 1}{2} = 0, \quad 2x + 3y - z = 0
\]
Giải được:
\[
2x + 3 = 0 \Rightarrow 2x = -3 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}
\]
\[
y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1
\]
Thay \(x, y\) vào phương trình thứ ba:
\[
2\left(-\frac{3}{2}\right) + 3(1) - z = 0
\]
\[
-3 + 3 - z =0 \Rightarrow z = 0
\]

### d) Phương trình:
\[
|2x + 3| + |y - 1| + (z - 5)^{2024} = 0
\]

Tương tự, vì tổng là 0, tất cả phải bằng 0:
\[
2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -\frac{3}{2}
\]
\[
y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1
\]
\(z - )^{2024} = 0 \Rightarrow z - 5 = 0 \Rightarrow z = 5
\]

### e) Bất phương trình:
\[
2024 \cdot |xy - 6|^{2007} + |x + 2|^{2006} \leq 0
\]

Cả hai vế đều không âm, vì vậy:
\[
2024 \cdot |xy - 6|^{2007} = 0 \quad \text{và} \quad |x + 2|^{2006} = 0
\]

Khi đó:
\[
|xy - 6| = 0 \Rightarrow xy = 6
\]
\[
|x + 2| =0 \Rightarrow x + 2 =0 \Right x = -
\]

Thay vào \(x = -2\):
\[
-2y = 6 \Rightarrow y = -3
\]

### f) Phương trình:
\[
|x^2 - 9| + 2|x^2 + 3x| + |x^3 - 9x| = 0
\]

Cả ba phần đều phải bằng 0. Giải từng phần:
1. \(x^2 - 9 = 0\) \(\Rightarrow x = 3\) hoặc \(x = -3\)
2. \(x^2 + 3x = 0\) \(\Rightarrow x(x + 3) = 0\) \(\Rightarrow x =0\) hoặc \(x = -3\)
3. \(x^3 - 9x = 0\) \(\Rightarrow x(x^2 - 9) = 0\) \(\Rightarrow = 0\), \(x = 3\), hoặc \(x = -3\)

Giải ra có các giá trị:
- \(x = 0\)
- \(x = 3\)
- \(x = -3\)

### g Phương trình:
\[
|3y - 2| + |xy - 6| = 0
\]

Cả hai phần đều bằng 0:
\[
3y - 2 = 0 \Rightarrow y = \frac{2}{3}
\]
\[
xy - 6 = 0 \Rightarrow xy = 6 \Rightarrow x \cdot \frac{2}{3} = 6 \Rightarrow x = 9
\]

### Kết quả:
Tóm lại, các giá trị tìm được là:
- \(x = -\frac{3}{2}\) (cho phương trình a, c, d), \(x = -2\) (cho phương trình e), \(x = 0\), \(3\), hoặc \(-3\) (cho phương trình f), và \(x = 9\) (cho phương trình g).
- \(y = 1\) (cho phương trình c, d), \(y = -3\) (cho phương trình e), và \(y = \frac{2}{3}\) (cho phương trình g).
- \(z = 0\) (cho phương trình c) và \(z = 5\) (cho d).

Hy vọng đáp án này có thể giúp ích cho bạn! Nếu cần thêm thông tin chi tiết hơn, hãy cho tôi biết!