Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của \( m \) sao cho các điều kiện sau đây về phương trình bậc nhất có nghiệm và có số nghiệm nhất định được thỏa mãn:

1. Tìm \( m \) sao cho phương trình \( 3f(x) + m - 1 = 0 \) có nghiệm.
2. Tìm \( m \) sao cho phương trình \( 4f(x) + 2m - 1 = 0 \) có 3 nghiệm.

**Cho hàm số \( f(x) = 7 \cdot 2^x \):**

1. **Điều kiện để phương trình \( 3f(x) + m - 1 = 0 \) có nghiệm:**

Phương trình này trở thành:

\[
3 \cdot 7 \cdot 2^x + m - 1 = 0
\]

Rút gọn:

\[
21 \cdot 2^x + m - 1 = 0
\]

Chuyển m sang vế bên phải:

\[
m = 1 - 21 \cdot 2^x
\]

Để phương trình có nghiệm, \( m \) phải có giá trị sao cho phương trình này có ít nhất một giá trị của \( x \) thỏa mãn. Vì \( 2^x \) có thể nhận mọi giá trị dương (từ \( 0 \) đến \( \infty \)), \( m \) có thể nhận mọi giá trị thực. Vậy không có điều kiện đặc biệt nào cho \( m \) trong trường hợp này. Thực tế, phương trình \( 3f(x) + m - 1 = 0 \) luôn có nghiệm với mọi giá trị của \( m \).

2. **Điều kiện để phương trình \( 4f(x) + 2m - 1 = 0 \) có 3 nghiệm:**

Phương trình này trở thành:

\[
4 \cdot 7 \cdot 2^x + 2m - 1 = 0
\]

Rút gọn:

\[
28 \cdot 2^x + 2m - 1 = 0
\]

Chuyển \( 2m \) sang vế bên phải:

\[
2m = 1 - 28 \cdot 2^x
\]

\[
m = \frac{1 - 28 \cdot 2^x}{2}
\]

Để phương trình có 3 nghiệm, chúng ta cần điều chỉnh \( m \) sao cho phương trình \( 4f(x) + 2m - 1 = 0 \) có ba giá trị của \( x \) thỏa mãn. Trong trường hợp này, hàm \( f(x) = 7 \cdot 2^x \) chỉ có một giá trị duy nhất cho mỗi giá trị \( x \), nên \( m \) cần phải thay đổi sao cho biểu thức \( 1 - 28 \cdot 2^x \) có ít nhất ba giá trị khác nhau. Nhưng hàm số mũ không thể đạt điều này vì nó là hàm đồng biến, do đó, không tồn tại giá trị của \( m \) sao cho phương trình có đúng ba nghiệm.

Tóm lại:

1. Phương trình \( 3f(x) + m - 1 = 0 \) luôn có nghiệm với mọi giá trị của \( m \).
2. Không có giá trị của \( m \) để phương trình \( 4f(x) + 2m - 1 = 0 \) có đúng ba nghiệm.