Để xét tính đơn điệu của hàm số \( g(x) = f\left(\frac{x^2 - x}{x^2 + 1}\right) \), ta sẽ sử dụng bảng biến thiên của hàm \( f(x) \) đã cho.

Bước 1: Tính \( u(x) \) và \( u'(x) \)

1. Xác định hàm số \( u(x) \):
\[ u(x) = \frac{x^2 - x}{x^2 + 1} \]

2. Tính đạo hàm của \( u(x) \):
Đạo hàm của \( u(x) \) được tính theo quy tắc đạo hàm của một thương số:

\[ u'(x) = \frac{(x^2+1)(2x-1) - (x^2-x)(2x)}{(x^2 + 1)^2} \]

3. Rút gọn và xét dấu của \( u'(x) \):
- \( u'(x) \) sẽ được tính toán và rút gọn để xác định các khoảng giá trị của \( x \) mà tại đó \( u(x) \) tăng hoặc giảm.

Bước 2: Xét dấu của \( f'(u(x)) \) theo bảng biến thiên của \( f(x) \)

Bảng biến thiên của \( f(x) \) cho ta:

- \( f'(x) > 0 \) khi \( x < 1 \) (hàm tăng)
- \( f'(x) = 0 \) khi \( x = 1 \) (hàm không đổi)
- \( f'(x) < 0 \) khi \( 1 < x < 2 \) (hàm giảm)
- \( f'(x) = 0 \) khi \( x = 2 \) (hàm không đổi)
- \( f'(x) < 0 \) khi \( x > 2 \) (hàm giảm)

Dựa vào giá trị của \( u(x) \), ta xác định khoảng giá trị của \( x \) làm \( f'(u(x)) \) dương, âm hoặc bằng không.

Bước 3: Xác định tính đơn điệu của \( g(x) \)

1. Xét dấu của \( g'(x) \):
- \( g'(x) = f'(u(x)) \cdot u'(x) \)
- Xét dấu của \( f'(u(x)) \) và \( u'(x) \) để xác định dấu của \( g'(x) \).

2. Xác định khoảng tăng giảm của hàm \( g(x) \):
- Nếu \( g'(x) > 0 \): \( g(x) \) tăng
- Nếu \( g'(x) < 0 \): \( g(x) \) giảm

Kết quả cuối cùng sẽ là các khoảng giá trị của \( x \) mà tại đó hàm \( g(x) \) tăng hoặc giảm.