Để tính được tổng \( \angle A + 2\angle C \) của tam giác ABC với các cạnh đã biết \( AB = 8 \), \( BC = 10 \), và \( AC = 15 \), ta có thể sử dụng định lý cosin để tìm các góc của tam giác.

**Định lý cosin:**

\[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C
\]

Trong đó:
- \( a, b, c \) là độ dài các cạnh của tam giác.
- \( C \) là góc đối diện với cạnh \( c \).

Chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

1. **Tìm góc \( A \) và \( C \) bằng định lý cosin.**
2. **Tính tổng \( \angle A + 2\angle C \).**

Bắt đầu với việc tìm góc \( A \) và \( C \) từ các cạnh của tam giác:

1. **Tìm góc \( C \):**

\[
\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}
\]

Ở đây, \( a = AB = 8 \), \( b = AC = 15 \), và \( c = BC = 10 \). Ta thay vào và tính toán.

2. **Tìm góc \( A \):**

\[
\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}
\]

Ở đây, \( b = AC = 15 \), \( c = BC = 10 \), và \( a = AB = 8 \).

3. **Tính \( \angle A + 2\angle C \)**

Tính các bước trên:

Kết quả các góc của tam giác ABC:

- Góc \( A \) xấp xỉ \( 29.5^\circ \)
- Góc \( C \) xấp xỉ \( 38.0^\circ \)

Tổng \( \angle A + 2\angle C \) xấp xỉ \( 105.6^\circ \).

Theo định lý Cosine, với các cạnh a, b, c đối diện với các góc A, B, C thì có công thức:

\[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)
\]

1. **Tính góc C:**
- Gọi \( a = BC = 10 \), \( b = AC = 15 \), \( c = AB = 8 \).
- Áp dụng định lý Cosine:
\[
8^2 = 10^2 + 15^2 - 2 \cdot 10 \cdot 15 \cdot \cos(C)
\]
\[
64 = 100 + 225 - 300 \cdot \cos(C)
\]
\[
64 = 325 - 300 \cdot \cos(C)
\]
\[
300 \cdot \cos(C) = 325 - 64 = 261
\]
\[
\cos(C) = \frac{261}{300} = 0.87
\]

Tính góc \( C \):
\[
C = \cos^{-1}(0.87)
\]
Sử dụng máy tính, ta có \( C \approx 29.5^\circ \).

2. **Tính góc A:**
- Áp dụng định lý Cosine một lần nữa, nhưng với góc A:
\[
b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(A)
\]
\[
15^2 = 10^2 + 8^2 - 2 \cdot 10 \cdot 8 \cdot \cos(A)
\]
\[
225 = 100 + 64 - 160 \cdot \cos(A)
\]
\[
225 = 164 - 160 \cdot \cos(A)
\]
\[
160 \cdot \cos(A) = 164 - 225 = -61
\]
\[
\cos(A) = -\frac{61}{160}
\]

Tính góc \( A \):
\[
A = \cos^{-1}\left(-\frac{61}{160}\right) \approx 127.7^\circ
\]

3. **Tính giá trị \( A + 2C \):**
- \( A + 2C \):
\[
A + 2C = 127.7 + 2 \cdot 29.5 = 127.7 + 59 = 186.7
\]