Để giải quyết bài toán này, trước tiên ta có thể coi \(ABCD\) là hình chiếu trên mặt phẳng, với các điểm \(M, N\) và \(Z, Q\) lần lượt nằm trên mặt phẳng mô tả chiều cao của hộp chữ nhật.

### a) Liệt kê góc và đường chéo

1. **Góc của hình hộp chữ nhật**:
- Góc giữa các cạnh liên tiếp (ví dụ: góc \(ABC\), góc \(ABM\), v.v.) đều bằng góc vuông (90 độ).

2. **Đường chéo**:
- Có hai loại đường chéo trong hình hộp chữ nhật:
- **Đường chéo của mặt đáy**:
- \(AC\) và \(BD\) (đường chéo trong mặt phẳng đáy).
- **Đường chéo không gian**:
- \(AM\), \(BN\), \(CZ\), \(DQ\).

### b) Chứng minh: \(AB = 3 \text{ cm}\). Vậy \(MN\), \(BC\) bằng bao nhiêu cm?

Giả sử \(ABCD\) là hình vuông và \(M, N, Z, Q\) là các điểm tương ứng ở các đỉnh phía trên của hình hộp chữ nhật.

- Vì \(AB = 3 \text{ cm}\), cách tính chiều dài của các cạnh khác trong hình hộp chữ nhật \(ABCDMNZQ\) phụ thuộc vào cách thiết lập kích thước của các cạnh.

1. **Giả sử**:
- Chiều dài \(AB = 3 \text{ cm}\) (cạnh dưới cùng của mặt đáy hình chữ nhật).
- Chiều rộng \(BC\) và chiều cao \(MN\) sẽ phụ thuộc vào tỷ lệ mà người thiết kế hộp chữ nhật mong muốn.

*Nhưng nếu hộp chữ nhật là nguyên khối với các cạnh vuông (tức là chiều dài và chiều rộng bằng nhau), thì*:

\[
BC = AB = 3 \text{ cm} \quad \text{(nếu nó giống chiều dài)}
\]

\[
MN = \text{chiều cao (có thể là một giá trị bất kỳ)}
\]

Tuy nhiên, thường khi thiết kế hộp chữ nhật, ta sẽ cần biết chiều rộng hoặc chiều cao được cho hoặc đặt dựa theo một tỉ lệ nào đó. Nếu không có thông tin này, chúng ta không thể xác định chính xác giá trị của \(MN\) mà chỉ có thể đưa ra giả thiết.

### Kết luận:
- Nếu không có thông tin thêm về chiều rộng và chiều cao, ta chỉ có thể kết luận được từ dữ liệu cho \(AB\). Nếu nó là hộp chữ nhật đều, cả các cạnh khác cũng bằng \(3 \text{ cm}\).
- Nếu biết thêm thông tin, ví dụ như chiều cao \(h\) của hình hộp thì có thể xác định \(MN\) và \(BC\).

### a) Liệt kê góc và đường chéo của hình hộp chữ nhật

1. **Các cạnh của hình hộp chữ nhật**: Giả sử hình hộp chữ nhật ABCDMNZQ có các đỉnh như sau:
- A, B, C, D là các đỉnh của mặt đáy.
- M, N, Z, Q là các đỉnh của mặt trên.

2. **Các góc của hình hộp chữ nhật**:
- **Góc tại A**: \( \angle DAB, \angle ABC, \angle ADM \)
- **Góc tại B**: \( \angle ABC, \angle BCD, \angle BMQ \)
- **Góc tại C**: \( \angle BCD, \angle CDA, \angle CNZ \)
- **Góc tại D**: \( \angle CDA, \angle DAB, \angle DMN \)
- **Góc tại M**: \( \angle ADM, \angle BMQ, \angle MNZ \)
- **Góc tại N**: \( \angle DMN, \angle CNZ, \angle ANQ \)
- **Góc tại Z**: \( \angle ACZ, \angle BNZ, \angle QAZ \)
- **Góc tại Q**: \( \angle AQM, \angle BQZ, \angle DNZ \)

3. **Các đường chéo của hình hộp chữ nhật**:
- \( AC \) (đường chéo trong mặt đáy ABCD)
- \( BD \) (đường chéo trong mặt đáy ABCD)
- \( AM \) (đường chéo giữa A và M)
- \( BN \) (đường chéo giữa B và N)
- \( CZ \) (đường chéo giữa C và Z)
- \( DQ \) (đường chéo giữa D và Q)
- \( MN \) (đường chéo trong mặt MNZQ)
- \( NZ \) (đường chéo trong mặt MNZQ)
- \( MQ \) (đường chéo trong mặt MNZQ)

### b) Chứng minh: AB = 3 cm. Tính MN, BC

Giả sử chúng ta có hình hộp chữ nhật ABCDMNZQ với:

- **Cạnh AB** = 3 cm

Trong một hình hộp chữ nhật, các cạnh trên cùng một cạnh và chiều cao liên quan được đặt theo các thông số nhất định. Giả sử:

- \( BC \) và \( MN \) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình hộp.

Do đó, trong hình hộp chữ nhật:
- \( AB \) là cạnh ở mặt đáy,
- \( BC \) là cạnh ở mặt đáy bên cạnh.

Do đó, nếu \( AB = 3 \) cm thì em có thể cho rằng chiều rộng hoặc chiều dài của hình hộp chữ nhật thường gần nhau, và hình hộp chữ nhật đều có những kết nối theo các tỷ lệ nhất định.